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Fundamentos de álgebra

Curso: Fundamentos de álgebra > Unidad 7

Lección 7: Factorizar expresiones cuadráticas: diferencia de cuadrados
Matemáticas
Fundamentos de álgebra
Cuadráticas y polinomios
Factorizar expresiones cuadráticas: diferencia de cuadrados
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Factorizar expresiones cuadráticas: diferencia de cuadrados

Google Classroom
Aprende a factorizar cuadráticas que tienen la forma "diferencia de cuadrados". Por ejemplo, escribe x²-16 como (x+4)(x-4).
Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto al proceso de la multiplicación de polinomios.
En este artículo, aprenderemos a usar la diferencia de cuadrados para factorizar ciertos polinomios. Si no conoces la diferencia de cuadrados, por favor revisa nuestro video antes de seguir.

Introducción: patrón de diferencia de cuadrados

Cada polinomio que sea una diferencia de cuadrados se puede factorizar al aplicar la siguiente fórmula:
a2−b2=(a+b)(a−b)
Observa que, en el patrón, a y b pueden ser una expresión algebraica. Por ejemplo, para a=x y b=2, obtenemos lo siguiente:
x2−22=(x+2)(x−2)
El polinomio x2−4 ahora se expresa en forma factorizada, (x+2)(x−2). Podemos desarrollar el lado derecho de esta ecuación para justificar la factorización:
(x+2)(x−2)=x(x−2)+2(x−2)=x2−2x+2x−4=x2−4
Ahora que entendimos el patrón, usémoslo para factorizar más polinomios.

Ejemplo 1: factorizar x2−16

Tanto x2 como 16 son cuadrados perfectos, ya que x2=(x)2 y 16=(4)2. En otras palabras:
x2−16=(x)2−(4)2
Como los dos cuadrados se están restando, podemos ver que este polinomio representa una diferencia de cuadrados. Podemos usar el patrón de diferencia de cuadrados para factorizar esta expresión:
a2−b2=(a+b)(a−b)
En nuestro caso, a=x y b=4. Por lo tanto, nuestro polinomio se factoriza así:
(x)2−(4)2=(x+4)(x−4)
Podemos revisar nuestro trabajo al asegurar que el producto de estos dos factores es x2−16.

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza x2−25.
Escoge 1 respuesta:

2) Factoriza x2−100.

Pregunta para reflexionar

3) ¿Podemos usar el patrón de diferencia de cuadrados para factorizar x2+25?
Escoge 1 respuesta:

Ejemplo 2: factorizar 4x2−9

El coeficiente principal no tiene que ser igual a 1 para usar el patrón de la diferencia de cuadrados. ¡De hecho, el patrón de la diferencia de cuadrados se puede usar en este caso!
La razón es que 4x2 y 9 son cuadrados perfectos, pues 4x2=(2x)2 y 9=(3)2. Podemos usar esta información para factorizar el polinomio usando el patrón de la diferencia de cuadrados:
4x2−9=(2x)2−(3)2=(2x+3)(2x−3)
Una comprobación con una multiplicación rápida verifica nuestra respuesta.

Comprueba tu comprensión

4) Factoriza 25x2−4.
Escoge 1 respuesta:

5) Factoriza 64x2−81.

6) Factoriza 36x2−1.

Problemas de desafío

7*) Factoriza x4−9.

8*) Factoriza 4x2−49y2.

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