no puedo poner al cuadrado en el ultimo punto

También es válida la expresión (3x+4y)(3x+4y). Ó puedes usar el teclado para elevarlo con las teclas Alt Gr + la tecla que tiene la diéresis (la diéresis es este símbolo ¨)

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Curso: Fundamentos de álgebra > Unidad 7

Lección 8: Factorizar expresiones cuadráticas: cuadrados perfectos

Factorizar expresiones cuadráticas: cuadrados perfectos

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Aprende a factorizar expresiones cuadráticas que tienen la forma "cuadrado perfecto". Por ejemplo, escribe x²+6x+9 como (x+3)².

Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto al proceso de la multiplicación de polinomios.

En este artículo, aprenderemos a factorizar trinomios cuadrados perfectos usando patrones especiales. Esto revierte el proceso de elevar al cuadrado un binomio, así que querrás entender este proceso por completo antes de continuar.

Introducción: factorizar trinomios cuadrados perfectos

Para desarrollar un binomio, podemos aplicar uno de los siguientes patrones.

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ‍
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ‍

Observa que en los patrones,

a

b

pueden ser cualquier expresión algebraica. Por ejemplo, supón que queremos desarrollar

(x + 5)^{2}

. En este caso,

a = x

b = 5

, y entonces obtenemos:

$\begin{aligned} (x + 5)^{2} & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = x^{2} + 10 x + 25 \end{aligned}$ ‍

Puedes revisar este patrón si multiplicas para desarrollar

(x + 5)^{2}

El inverso de este proceso de desarrollo es una forma de factorización. Si volvemos a escribir las ecuaciones en el orden inverso, tendremos patrones para factorizar polinomios de la forma

a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ‍

Podemos aplicar el primer patrón para factorizar

x^{2} + 10 x + 25

. Aquí tenemos

a = x

b = 5

$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍

Las expresiones de esta forma se llaman trinomios cuadrados perfectos. ¡El nombre refleja el hecho de que este tipo de polinomios de tres términos se puede expresar como un cuadrado perfecto!

Veamos unos cuantos ejemplos en los que factorizamos trinomios cuadrados perfectos usando este patrón.

Ejemplo 1: factorizar $x^{2} + 8 x + 16$ ‍

Observa que el primero y el último término son cuadrados perfectos:

x^{2} = (x)^{2}

16 = (4)^{2}

. Además, observa que el término de en medio es dos veces el producto de los números que están elevados al cuadrado:

2 (x) (4) = 8 x

Esto nos dice que el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto, y entonces podemos usar el siguiente patrón de factorización.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

En nuestro caso,

a = x

b = 4

. Podemos factorizar nuestro polinomio como sigue:

\begin{aligned} x^{2} + 8 x + 16 & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = (x + 4)^{2} \end{aligned}

Podemos revisar nuestro trabajo al desarrollar

(x + 4)^{2}

\begin{aligned} (x + 4)^{2} & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = x^{2} + 8 x + 16 \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza $x^{2} + 6 x + 9$ ‍.

2) Factoriza $x^{2} - 6 x + 9$ ‍.

Observa que el primero y el último término son cuadrados perfectos:

x^{2} = (x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Además, observa que el término de en medio es dos veces el producto de los números que están elevados al cuadrado:

2 (x) (3) = 6 x

Esto significa que el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto. Podemos factorizarlo como sigue:

\begin{aligned} x^{2} - 6 x + 9 & = (x)^{2} - 2 (x) (3) + (3)^{2} \\ = (x - 3)^{2} \end{aligned}

Observa que el signo en el binomio es negativo puesto que el coeficiente del término

x

es negativo.

3) Factoriza $x^{2} + 14 x + 49$ ‍.

Ejemplo 2: factorizar $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

No es necesario que el coeficiente principal de un trinomio cuadrado perfecto sea

1

Por ejemplo, en

4 x^{2} + 12 x + 9

, observa que tanto el primer término como el último son cuadrados perfectos:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Además, observa que el término de en medio es dos veces el producto de los números que están elevados al cuadrado:

2 (2 x) (3) = 12 x

Como esto satisface las condiciones anteriores,

4 x^{2} + 12 x + 9

también es un trinomio cuadrado perfecto. Podemos aplicar nuevamente el siguiente patrón de factorización.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

En este caso,

a = 2 x

b = 3

. El polinomio se factoriza como sigue:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 & = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Podemos revisar nuestro trabajo al desarrollar

(2 x + 3)^{2}

¡Sí! También podemos factorizar

4 x^{2} + 12 x + 9

usando el método de agrupación.

Vamos a comenzar este proceso al encontrar factores de

4 \cdot 9 = 36

que sumen

12

. Estos dos números son

6

6

ya que

6 \cdot 6 = 36

6 + 6 = 12

Ahora podemos descomponer el término

12 x

6 x + 6 x

y usar la agrupación para factorizar el polinomio:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 \\ = (4 x^{2} + 6 x) + (6 x + 9) & Agrupa términos. \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & Factoriza máximo común divisor. \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & ¡Factor común! \\ = (2 x + 3) (2 x + 3) & Factoriza 2 x + 3 . \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

¡Pero observa que darte cuenta de que

4 x^{2} + 12 x + 9

es un trinomio cuadrado perfecto puede ahorrarte tiempo!

Comprueba tu comprensión

4) Factoriza $9 x^{2} + 30 x + 25$ ‍.

5) Factoriza $4 x^{2} - 20 x + 25$ ‍.

Observa que el primero y el último término son cuadrados perfectos:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

25 = (5)^{2}

. Además, observa que el término de en medio es dos veces el producto de los números que están elevados al cuadrado:

2 (2 x) (5) = 20 x

Esto significa que el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto. Podemos factorizarlo como sigue:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 20 x + 25 & = (2 x)^{2} - 2 (2 x) (5) + (5)^{2} \\ = (2 x - 5)^{2} \end{aligned}

Observa que el signo en el binomio es negativo puesto que el coeficiente del término

x

es negativo.

Problemas de desafío

6*) Factoriza $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ ‍.

7*) Factoriza $9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2}$ ‍.

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Salvador Ramos-Rodriguez
Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “esta pregunta no la pude ...” de Salvador Ramos-Rodriguez
esta pregunta no la pude responder porque no me dio la opcion de elvar al cuadrado el parentesis... me pueden ayudar con esto ? por favor
Botón que navega a la página de registroComentar en la publicación “esta pregunta no la pude ...” de Salvador Ramos-Rodriguez
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ojkar
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “que prefieren, ver gas o ...” de ojkar
que prefieren, ver gas o ver gotas?
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- damirandagarcia
  Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “por eso no pasas de lecci...” de damirandagarcia
  por eso no pasas de leccion
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Salvador Ramos-Rodriguez
Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “hola .... ya encontre la ...” de Salvador Ramos-Rodriguez
hola .... ya encontre la clave: si no hay la opcion de como elevar al cuadrado... solo tienes que presionar la tecla de shift y presionar al mismo tiempo la tecla 6 ... que indica ^ que es la operacion de elevar exponencialmente...

gracias
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Rodriguez Rangel Juan Pablo
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “Izi tutorial papaaaaa que...” de Rodriguez Rangel Juan Pablo
Izi tutorial papaaaaa que faciles estan estos bots gg izi
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clara rodriguez miri
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “no puedo poner al cuadrad...” de clara rodriguez miri
no puedo poner al cuadrado en el ultimo punto
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- Koatl
  Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “También es válida la expr...” de Koatl
  También es válida la expresión (3x+4y)(3x+4y).
  Ó puedes usar el teclado para elevarlo con las teclas Alt Gr + la tecla que tiene la diéresis (la diéresis es este símbolo ¨)
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Argelia Lemus Alvarado
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “porque en el ejercisio 3 ...” de Argelia Lemus Alvarado
porque en el ejercisio 3 el resultado meda a x-7 al cuadrado
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Salvador Ramos-Rodriguez
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “tengo esta expresion py q...” de Salvador Ramos-Rodriguez
tengo esta expresion py quiero factorizar
p^2 -15p +5
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bjorge2160
Publicado hace hace 8 meses. Enlace directo a la publicación “Estoy aprendendo mucho, e...” de bjorge2160
Estoy aprendendo mucho, estoy muy feliz por todo lo que he aprendido y estoy muy emocionada con he de aprender, muchas gracias.
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Grecia Zavala
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “por que diablos no puedo ...” de Grecia Zavala
por que diablos no puedo poner exponente en las respuestas
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Jonnys Mena Matias
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “excelente informaciones y...” de Jonnys Mena Matias
excelente informaciones y ejercicios de muchicimas utilidad y reforzamiento
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Introducción: factorizar trinomios cuadrados perfectos

Ejemplo 1: factorizar x2+8x+16‍

Comprueba tu comprensión

Ejemplo 2: factorizar 4x2+12x+9‍

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Problemas de desafío

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Ejemplo 1: factorizar $x^{2} + 8 x + 16$ ‍

Ejemplo 2: factorizar $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍