la ultima alguien me la explica

en esa la cuestión seria primero sacar el MCD de la expresión algebraica, después obtener la formula del área del rectángulo ok, posteriormente ocupar la formula para determinar que espacio corresponde al ancho y largo y ya luego se factorizaria y quedaria: 2x^2(4x^2+3)

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Curso: Fundamentos de álgebra > Unidad 7

Lección 4: Factorizar polinomios al sacar factores comunes

Factorizar polinomios al sacar un factor común

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Aprende a factorizar un factor común de una expresión polinomial. Por ejemplo, factoriza 6x²+10x como 2x(3x+5).

Con lo que deberías de estar familiarizado antes de esta lección

El MCD (máximo común divisor) de dos o más monomios es el producto de todos sus factores primos comunes. Por ejemplo, el MCD de

6 x

4 x^{2}

2 x

Si esto es nuevo para ti, querrás revisar nuestro articulo sobre máximos comunes divisores de monomios.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección, aprenderás a sacar factores comunes de polinomios.

La propiedad distributiva: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

Para entender cómo sacar factores comunes, debemos entender la propiedad distributiva.

Por ejemplo, podemos usar la propiedad distributiva para encontrar el producto de

3 x^{2}

4 x + 3

como se muestra a continuación:

3 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (4 x + 3) = 3} x^{2} (4 x) + 3} x^{2} (3)

Observa que cada término en el binomio se multiplicó por un factor común de

3 x^{2}

Sin embargo, como la propiedad distributiva es una igualdad, ¡el opuesto de este proceso también es correcto!

3 \overset{⏜}{x^{2} (4 x) + 3 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 3}} x^{2} (4 x + 3)

Si comenzamos con

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

, podemos usar la propiedad distributiva para factorizar

3 x^{2}

y obtener

3 x^{2} (4 x + 3)

La expresión resultante está en forma factorizada porque está escrita como un producto de dos polinomios, mientras que la expresión original es una suma de dos términos.

Comprueba tu comprensión

Problema 1

Escribe $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍ en forma factorizada.

Factorizar el máximo común divisor (MCD)

Para factorizar el MCD del polinomio, haz lo siguiente:

Encuentra el MCD de todos los términos en el polinomio.
Expresa cada término como un producto del MCD y otro factor.
Usa la propiedad distributiva para factorizar el MCD.

Vamos a factorizar el MCD de

2 x^{3} - 6 x^{2}

Paso 1: encuentra el MCD

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Así que el MCD de

2 x^{3} - 6 x^{2}

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

Paso 2: expresa cada término como un producto de $2 x^{2}$ ‍ y otro factor.

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

Así que el polinomio puede escribirse como

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

Paso 3: factoriza el MCD

Ahora podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar

2 x^{2}

2 \overset{⏜}{x^{2} (x) - 2 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 2}} x^{2} (x - 3)

Verificar nuestro resultado

Podemos revisar nuestra factorización al multiplicar

2 x^{2}

de regreso en el polinomio.

2 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (x - 3) = 2} x^{2} (x) - 2} x^{2} (3)

Como esto es lo mismo que el polinomio original, ¡nuestra factorización es correcta!

Comprueba tu comprensión

Problema 2

Factoriza el máximo común divisor en $12 x^{2} + 18 x$ ‍.

Problema 3

Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.

10 x^{2} + 25 x + 15 =

Problema 4

Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

¿Podemos ser más eficientes?

Si te sientes cómodo con el proceso de factorizar el MCD, puedes usar un método más rápido:

Una vez que conocemos el MCD, la forma factorizada es simplemente el producto de ese MCD y la suma de los términos en el polinomio original dividido entre el MCD.

Ve, por ejemplo, cómo usamos este método rápido para factorizar

5 x^{2} + 10 x

, cuyo MCD es

5 x

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

Factorizar factores binomiales

El factor común en un polinomio no tiene que ser un monomio.

Por ejemplo, considera el polinomio

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

Observa que el binomio

2 x - 1

es común a ambos términos. Podemos factorizar esto usando la propiedad distributiva:

x (2 x \overset{⏜}{- 1) - 4 (2 x \overset{⏜}{- 1) = (x - 4) (2 x -}} 1)

Comprueba tu comprensión

Problema 5

Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

Diferentes tipos de factorizaciones

Puede parecer que hemos usado el término "factor" para describir varios procesos diferentes:

Factorizamos monomios al escribirlos como un producto de otros monomios. Por ejemplo, $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍.
Factorizamos el MCD de polinomios usando la propiedad distributiva. Por ejemplo, $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍.
Factorizamos factores binomios comunes que dieron lugar a una expresión igual al producto de dos binomios. Por ejemplo:

x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)

Aunque hayamos podido usar diferentes técnicas, lo que hicimos en cada caso fue escribir el polinomio como un producto de dos o más factores. Así que en los tres ejemplos, factorizamos el polinomio.