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Contenido principal

Factorizar cuadráticas: coeficiente principal = 1

Aprende a factorizar expresiones cuadráticas como el producto de dos binomios lineales. Por ejemplo,  x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Lo que necesitas saber para esta lección

Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto a la multiplicación de polinomios. Para más información al respecto, revisa nuestro artículo previo sobre sacar factores comunes.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección, aprenderás a factorizar un polinomio de la forma x2+bx+c como un producto de dos binomios.

Repaso: multiplicar binomios

Consideremos la expresión (x+2)(x+4).
Podemos encontrar el producto al aplicar la propiedad distributiva varias veces.
(x+2)(x+4)=(x+2)(x)+(x+2)(4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8
Así que tenemos (x+2)(x+4)=x2+6x+8.
De aquí, vemos que x+2 y x+4 son factores de x2+6x+8, ¿pero cómo encontramos estos factores si no comenzamos con ellos?

Factorizar trinomios

Podemos hacer el proceso inverso de la multiplicación binomial mostrado anteriormente para factorizar un trinomio (lo cual es un polinomio con 3 términos).
En otras palabras, si comenzamos con el polinomio x2+6x+8, podemos usar la factorización para escribirlo como un producto de dos binomios, (x+2)(x+4).
Echemos un vistazo a algunos ejemplos para ver cómo se hace.

Ejemplo 1: factorizar x2+5x+6

Para factorizar x2+5x+6, primero necesitamos encontrar dos números que multiplicados den 6 (el número constante) y sumados den 5 (el coeficiente x).
Estos dos números son 2 y 3 porque 23=6 y 2+3=5.
Luego podemos sumarle a x cada uno de estos números para formar los dos factores binomiales: (x+2) y(x+3).
En conclusión, factorizamos el trinomio como sigue:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Para revisar la factorización, podemos multiplicar los dos binomios:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
El producto de x+2 y x+3 es x2+5x+6. ¡Nuestra factorización es correcta!

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza x2+7x+10.
Escoge 1 respuesta:

2) Factoriza x2+9x+20.

Echemos un vistazo a algunos ejemplos más y veamos qué podemos aprender de ellos.

Ejemplo 2: factorizar x25x+6

Para factorizar x25x+6, primero encontremos dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5.
Estos dos números son 2 y 3 porque (2)(3)=6 y (2)+(3)=5.
Luego podemos sumarle a x cada uno de estos números para formar los factores binomiales: (x+(2)) y (x+(3)).
La factorización se da a continuación:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)
Patrón de factorización: observa que los números necesarios para factorizar x25x+6 son ambos negativos (2 y 3). Esto es porque su producto necesita ser positivo (6) y su suma negativa (5).
En general, cuando se factoriza x2+bx+c, si c es positivo y b es negativo, ¡entonces ambos factores serán negativos!

Ejemplo 3: factorizar x2x6

Podemos escribir x2x6 como x21x6.
Para factorizar x21x6, primero encontremos dos números que multiplicados den 6 y sumados den 1.
Estos dos números son 2 y 3 porque (2)(3)=6 y 2+(3)=1.
Luego podemos sumar cada uno de estos números a x para formar los dos factores binomiales: (x+2) y (x+(3)).
La factorización se da a continuación:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)
Patrones de factorización: observa que para factorizar x2x6, necesitamos un número positivo (2) y un número negativo (3). Esto es porque su producto necesita ser negativo (6).
En general, cuando se factoriza x2+bx+c, si c es negativo, entonces un factor será positivo y un factor será negativo.

Resumen

En general, para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c, necesitamos encontrar factores de c que sumados den b.
Supón que estos dos números son m y n, de tal forma que c=mn y b=m+n, entonces x2+bx+c=(x+m)(x+n).

Comprueba tu comprensión

3) Factoriza x28x9.

4) Factoriza x210x+24.

5) Factoriza x2+7x30.

¿Por qué funciona esto?

Para entender por qué funciona este método de factorización, regresemos al ejemplo original en el que factorizamos x2+5x+6 como (x+2)(x+3).
Si regresamos y multiplicamos los dos factores binomiales, podemos ver el efecto que el 2 y el 3 tienen en formar el producto x2+5x+6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23
Vemos que el coeficiente del término de x es la suma de 2 y 3, y el término constante es el producto de 2 y 3.

El patrón suma-producto

Repitamos lo que acabamos de hacer con (x+2)(x+3) para (x+m)(x+n):
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn
Para resumir este proceso, tenemos la siguiente ecuación:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn
Esto se llama el patrón suma-producto.
Muestra por qué, una vez que expresamos un trinomio x2+bx+c como x2+(m+n)x+mn (al encontrar dos números m y n tal que b=m+n y c=mn), podemos factorizar ese trinomio como (x+m)(x+n).

Pregunta para reflexionar

6) ¿Se puede usar este método de factorización para factorizar 2x2+3x+1?
Escoge 1 respuesta:

¿Cuándo podemos usar este método para factorizar?

En general, el método suma-producto se aplica solo cuando podemos escribir un trinomio como (x+m)(x+n) para dos enteros m y n.
Esto significa que, para poder considerar este método, el término principal del trinomio debe ser x2 (y no, por ejemplo, 2x2). Esto es porque el producto de (x+m) y (x+n) siempre será un polinomio con término principal de x2.
Sin embargo, no todos los trinomios con x2 como término principal se pueden factorizar. Por ejemplo, x2+2x+2 no se puede factorizar porque no hay dos enteros cuya suma sea 2 y cuyo producto sea 2.
En futuras lecciones aprenderemos más formas de factorizar otros tipos de polinomios.

Problemas de desafío

7*) Factoriza x2+5xy+6y2.

8*) Factoriza x45x2+6.

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