Resolver desigualdades de valor absoluto: fracciones

Vamos a resolver la desigualdad, el valor absoluto de "2r" menos 3 enteros 1/4, esto tiene que ser menor que 2 enteros 1/2. Y bueno, de hecho antes de meterme a resolver esta desigualdad con valor absoluto, quiero recordar un poco lo que veíamos en el video pasado. Si yo tenía que el valor absoluto de "x" era menor que 2 enteros 1/2, vamos a tomarnos lo mismo, ¿qué quería decir esto? ¡Ah! bueno, que "x" tenía que ser menor que 2 enteros 1/2... "x" tiene que ser menor que 2 1/2 y a su vez, "x" tiene que ser mayor que -2 enteros 1/2... tiene que ser mayor que -2 enteros 1/2. Ambas desigualdades se tienen que cumplir simultáneamente y si esto lo veíamos en una recta numérica y aquí estaba el 0, aquí estaba el 2 enteros 1/2 y por aquí el -2 enteros 1/2, si yo me fijo en la distancia que hay del 0 al 2 enteros 1/2 y al -2 enteros 1/2, pues vamos a ver que hay dos unidades y media de distancia al 0 y si yo lo que quiero es buscar los números que cumplan que su distancia sea menor que 2 enteros 1/2, pues tienen que ser aquellos números que están entre estos dos valores, es decir, todos estos. La distancia de este número al 0, tiene que ser menor que 2 enteros 1/2, por lo tanto tiene que ser todo esto que estoy pintando de azul. Justo esto era lo que habíamos visto hace algunos videos y más aun, si nosotros teníamos que el valor absoluto de "x" era mayor que 2 enteros 1/2, lo que nos resultaba de solución era justo lo contrario, los intervalos que eran más grandes que 2 enteros 1/2 o en su dado caso más chicos que -2 enteros 1/2, pero bueno, regresemos a este problema original. Yo lo que quiero es que esto, esto que está adentro de mi valor absoluto, va a servir igual que "x", es decir, lo que quiero es que "2r" menos 3 enteros 1/4 sea menor que 2 enteros 1/2 ... que 2 enteros 1/2 y a su vez, simultáneamente, se cumpla que "2r" menos 3 enteros 1/4 sea más grande que -2 enteros 1/2 . Estoy utilizando exactamente la misma lógica que utilicé aquí a la derecha, es más déjame hacer una línea para que no nos confundamos. Esto, que está adentro de mi valor absoluto, es justo a lo que yo me refería con la "x" aquí del lado derecho, y bueno, si ya tengo estas dos desigualdades, lo único que hay que hacer es resolverlas para "r". Y por lo tanto, lo único que hay que hacer es despejar a "r", pero si te das cuenta aquí tenemos fracciones, así que lo primero que voy a hacer es pasar estas fracciones de mixtas a impropias y para esto lo que voy a hacer es multiplicar 4 por 3 = 12 más 1, lo bueno es que lo que haga de un lado, también me va a servir del otro lado o al menos en un principio y entonces mejor voy a escribir esto como "2r" menos 4 por 3 = 12 más 1 = 13, son 13/4, entonces me va a quedar "2r" menos 13/4, esto tiene que ser menor o igual... espera, cuartos, no tercios... no me vaya yo a confundir por una cosita así. Esto tiene que ser menor que 2 por 2 = 4 más 1 = 5, es decir, 5/2, bueno, esto por una parte, pero por otra parte, también tenemos que "2r" menos 3 enteros 1/4 tiene que ser mayor que -2 enteros 1/2, pero bueno, esto es lo mismo que "2r" menos 13/4 tiene que ser mayor que -5/2. Muy bien, pero como no es lo mejor trabajar con fracciones, a mi lo que se me ocurre es, multiplicar toda esta desigualdad por 4, como el 4 es un número positivo, se mantiene la desigualdad y entonces vamos a multiplicar todo esto por 4, ¿y qué me va a quedar? 4 por "2r" es "8r", 4 que multiplica a -13/4, pues el 4 y el 4 se van y me queda -13 y después date cuenta que la desigualdad se mantiene igual porque el 4 es un número positivo y después me queda, 4 entre 2 es 2, 2 por 5 = 10, entonces "8r" menos 13, tiene que ser menor que 10, porque 2 por 5 es 10. Bueno, primero déjenme resolver esta desigualdad del lado izquierdo y ya después me voy a ir con la desigualdad del lado derecho. De aquí si lo que quiero es despejar a "r", lo primero que voy a hacer es sumar a 13 de ambos lados de la ecuación y me queda que "8r" tiene que ser menor, estos dos se van, que 10 más 13, que es 23. Y bueno, si divido ambos lados de esta desigualdad entre 8 y como 8 es un número positivo se conserva la desigualdad, me queda que 8 y 8 se van, la desigualdad se mantiene igual y entonces me queda que "r" tiene que ser menor que 23/8... "r" tiene que ser menor que 23/8... ¡Perfecto! ya aquí tengo mi solución de mi primera desigualdad, "r" menor que 23/8 ó esto si lo vemos como fracción mixta es 2 enteros 7/8, 8 por 12 = 16 más 7 = 23. Bueno, pero ésta en una primera parte, en una primera desigualdad, porque también tengo otra desigualdad, dice, se tiene que cumplir la primera desigualdad y la segunda desigualdad que es ésta que tengo aquí. Pero de igual manera tengo fracciones, por lo tanto lo primero que voy a hacer es multiplicar ambos lados de esa desigualdad por 4, otra vez, como el 4 es un número positivo, no se afecta la desigualdad y me queda, "8r" menos 13 tiene que ser mayor que 4 entre 2 es 2 por 5 es 10, -10. "8r" menos 13 tiene que ser mayor que -10 y sumando 13 de ambos lados de la ecuación, me va a quedar que "8r", 13 menos 13 se van, "8r" tiene que ser mayor que -10 más 13 que es 3. "8r" tiene que ser mayor que 3. Y bueno, yo lo que quiero es despejar a "r" de esta desigualdad, por lo tanto voy a dividir ambos lados de la ecuación entre 8, como 8 es un número positivo no se afecta esta desigualdad, me queda que "r" es mayor que 3/8. Y a 3/8 no le podemos sacar enteros, por lo tanto es una fracción propia. Y ¡Perfecto! Ya tenemos entonces mis dos condiciones que tiene que cumplir "r" y por lo tanto mi intervalo en el cual vive "r". "r" por una parte tiene que ser mayor que 3/8, para que cumpla esta desigualdad con valor absoluto, "r" tiene que ser mayor que 3/8 y por otra parte tiene que ser menor que 2 enteros 7/8. Así que, pues lo único que nos falta es ponerlo en esta recta numérica y vamos a ver que tal nos queda. 0, por aquí va a estar el 1, por aquí va a estar el 2 y por aquí vamos a tener al 3. Y yo lo que quiero es que "r" sea en primer lugar, más chico que 2 enteros 7/8.... 2 enteros 7/8 está por aquí... y después que sea más grande que 3/8, voy a decir que 3/8 está por aquí y bueno como son desigualdades estrictas entonces no toca 3/8, no toca 2 enteros 7/8 y todo lo que viva aquí en medio de estos dos, va a ser mi solución. Y bueno, sería bastante útil probar que realmente sí es esta solución. Si yo me tomo un número, aquí entre estos 2, supongamos 1, vamos a ver qué me queda con esta desigualdad, 2 por 1 porque "r" vale 1 menos 3 enteros 1/4, 2 menos 3 enteros 1/4 y esto es lo mismo que 3 enteros 1/4 menos 2 es 1 entero 1/4 por menos, me queda -1 entero 1/4, pero ojo, me estoy tomando el valor absoluto... el valor absoluto de esto... el valor absoluto de esto... el valor absoluto de esto... y esto es igual a 1 entero 1/4, que por cierto es mucho más pequeño que 2 enteros 1/2 y ¿qué pasa si me tomo un valor que este fuera de este intervalo? ¿Será que me equivoqué y tal vez si esté en esta solución? Pues vamos a ver, si "r" vale 0 me queda 2 por 0 = 0, menos 3 enteros 1/4... el valor absoluto de -3 enteros 1/4 es 3 enteros 1/4 y lamentablemente no es parte de mi solución porque esto es más grande que 2 enteros 1/2. Y supongamos que me tomo ahora 3, vamos a ver si con el 3 funciona. 2 por 3 es 6, 6 menos 3 enteros 1/4 es 2 enteros 3/4... 2 enteros 3/4, lo cual cuando me tomo el valor absoluto es 2 enteros 3/4, que es mayor que 2 enteros 1/2, es una lástima, porque por lo tanto no está en nuestra solución.