Desigualdades de un solo paso. Ejemplos

En este vídeo quiero atacar algunas desigualdades que involucran multiplicar y dividir por números positivos y negativos y verás que es un poco más truculento que solo sumar y restar números que vimos, por ejemplo en el último vídeo, y también quiero introducirte a otro tipo de notaciones para describir el conjunto solución de una desigualdad, así que hagamos un par de ejemplos. Por ejemplo, que tenemos la desigualdad menos déjenme... déjenme corregirlo, -0.5x ¿Ok? Y que esto sea menor o igual que 7.5 Ok, tenemos esta desigualdad de aquí ¿y cómo lo resolvemos? Bueno si fuera una igualdad, ¿qué es lo que es lo que se nos antojaría hacer? Bueno, pues multiplicar por... o más bien dividir entre -0.5 ¿verdad? de tal suerte que del lado izquierdo quitamos el coeficiente y del lado derecho ya nos queda un número ¿verdad? Sin embargo en las desigualdades no es tan inmediato... no es tan inmediato, de hecho cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, lo que tenemos que hacer es cambiar el signo de la desigualdad, debemos invertir ese orden, y les voy a dar un ejemplito de porqué esto es cierto. Por ejemplo todo el mundo estará de acuerdo que el número 1 es más chico que el número 2 Eso, eso yo creo que nadie lo va a dudar en estos momentos, sin embargo, ¿qué pasaría si nosotros multiplicamos por -1? Entonces aquí me quedaría -1 y del otro lado me quedaría -2 yo te preguntaría, ¿qué número es más chico? Bueno, pues queda claro que el -2 es más negativo que -1 ¿verdad? Entonces este número es más pequeño, entonces como puedes darte cuenta, si un número es más grande que el otro, entonces al multiplicarlo por -1 lo que está haciendo es volverlo más negativo, ¿verdad? quiere decir que se está volviendo mucho más pequeño en el sentido de que se vuelve más negativo, y aquí por supuesto no es una demostración de porqué al multiplicar por un número negativo, hay que invertir el orden de la desigualdad sin embargo, yo creo que con esto te sentirás más cómodo, ¿verdad? Así que, lo que tenemos que hacer aquí es dividir entre - 0.5 ó multiplicar por algún número que sea negativo y así, se invierte la desigualdad, y bueno, ¿cuál es el número por el que hay que multiplicar o dividir? Bueno en realidad si nosotros multiplicamos esta desigualdad por - 2 ya lo logramos ¿verdad? Y es que en realidad estoy pensando el 0.5, que es la mitad de 5, ¿verdad? entonces esto es como -1/2, ¿cómo cancelo -1/2? Pues con -2 así que, de ambos lados multiplicamos por -2, de este lado se quedaría multiplicado por -0.5x, ahorita checamos la desigualdad y aquí nos quedaría 7.5 multiplicado por -2. Y la desigualdad dijimos que se cambia en este tipo de casos, así que en vez de ser menor o igual va a ser mayor o igual. Entonces vamos a resolver esto, ¿de dónde salió el -2? Insisto de que el -0.5 es como - 1/2 Entonces -2 por -0.5 es 2 veces 0.5 que es 1 ¿verdad? Entonces tenemos simplemente "x" es mayor o igual que -2 por 7.5, que es -2 por 7.5, es 15 Entonces mi solución es todos los números que sean más grandes o iguales que -15 ¿verdad? Incluso tú puedes aquí intentar poner el 0 que claramente el 0 es más grande que cualquier número negativo en particular el -15, o por ejemplo puedes intentar el el -16 ¿verdad? si tú pones -16, eso no es cierto que sea mayor o igual que -15, de hecho si tú pones -16 aquí serían menos por menos, más 0.5 por 16 ó la mitad de 16 es 8, que claramente no es menor o igual que 7.5 ¿verdad? Entonces si nosotros fuéramos a dibujar esta solución, el conjunto solución, podríamos pintar una recta real, una recta de números reales y digamos que por acá anda el -15, por acá andará el -16, ¿verdad? Seguimos del lado izquierdo y del derecho y acá tendremos el -14. Entonces, ¿cómo graficamos nuestra solución? Primero el -15 sí lo incluimos y además nos tomamos todos los que están a la derecha de él, ¿verdad? todos los que son mayores o iguales, entonces, así es como se vería graficado pero, quizás también has visto esto como un conjunto solución, en términos de un intervalo ¿Qué significaría esto? Bueno ponemos el -15 y como vamos a incluirlo le ponemos un corchete... sí.... uno de estos paréntesis rectangulares, me parece que son los corchetes ¿verdad? Entonces le ponemos un corchete, siempre que queramos incluir este número, y nos vamos a ir hacia adelante hasta el infinito. Entonces, aquí le vamos a poner el paréntesis normal y esto es generalmente cuando ponemos este tipo de paréntesis, es porque no estamos incluyendo este número de aquí, y en realidad el infinito no lo vamos a incluir, el infinito no es un número, ¿verdad? No es como que uno puede decir, "¡Ah claro, ya llegué al infinito!" Nunca vamos a llegar al infinito, así es que en general pues el paréntesis se ocupa para cuando no incluimos el punto o para cuando estemos trabajando con infinito. Y quizás también lo habrás visto de esta forma, con... abriendo una llave en términos, o en notación conjuntista ¿verdad? Esto es el conjunto de todos los "x" "x" es un número real... un número... número real tal que... y se pone con una barrita así, tal que "x" es mayor o igual que -15. Y esto también es una forma de expresar lo mismo, esto, esto, esto y esto es bueno, la forma gráfica. Estas son formas equivalentes de ver la solución, el conjunto solución. Vamos a hacer otro ejemplo... Vamos a hacer otro ejemplo, digamos este 75x es mayor o igual que 125 En este caso, ya no vamos a necesitar multiplicar por números negativos, así que, en realidad lo que yo puedo hacer es dividir de ambos lados sobre 75, dividimos sobre 75 y no hay que cambiar la desigualdad, porque este no fue negativo, recuerda que solo hay que cambiarlo cuando es negativo. Entonces, ¿qué es lo que me queda? Aquí nos queda "x" es mayor o igual que 125 sobre 75, y bueno ya esta sería la solución, pero si queremos simplificarlo podemos dividir en el numerador y en el denominador por me parece 25, porque esto es 5 veces 25 entonces me queda 5 y abajo esto es 25 por 3 ¿verdad? entonces me queda 3. El conjunto solución, son los números mayores o iguales que 5/3, entonces, si lo expresamos en términos de intervalos pues tenemos al 5/3 y le ponemos este... este corchete porque sí lo estamos incluyendo ¿verdad? Y nos seguimos todo derecho hasta el infinito y éste no lo incluimos porque ni siquiera es un número ¿Cómo lo graficamos? Ponemos nuevamente nuestra recta real y ubicamos el 5/3, que más o menos es 1 y 2/3 entonces por acá andará el 0, por aquí andara el 1, por aquí andara el 2, y este es 1 con 2/3, así que anda por aquí, este es el 5/3... y lo que hacemos es tomarnos todos desde el 5/3 en adelante ¿verdad? nos los tomamos todos todos estos y éste lo incluimos Vamos con otro ejemplo más, por ejemplo que tenemos el "x" sobre -3 mayor que -10/9 entonces lo que tenemos que hacer aquí, este "x" entre -3, lo podemos pensar como -1/3 de "x"... entonces esto es -1/3 de "x" Y para cancelar esto pues necesariamente tenemos que multiplicar por -3 ¿verdad? Tenemos que multiplicar por -3, los signos se cancelan y 3 sobre 3 nos da 1 y a ver, del otro lado, tenemos que multiplicar exactamente por lo mismo por -3 Ahora ¿Cómo multiplicamos por un número negativo? ¿Qué dijimos? Que el signo de la desigualdad tiene que cambiar de orientación, entonces, en vez de ser mayor que ahora va a ser un menor que, ¿Cómo nos quedaría finalmente? Esto se cancela y me queda "x" es menor que -10/9 por -3 los signos se cancelan y me queda, por ejemplo, podemos cancelar aquí el 3 ¿no? y cancelar aquí un 3 y me queda 3 y me queda efectivamente 10/3 ¿verdad? los signos se cancelan entonces me queda "x" menor que 10/3 y si queremos expresarlo en términos de conjuntos pues, vamos a tomarnos el 10/3, éste no lo vamos a incluir ¿verdad? no viene el igual, así que le ponemos este límite de paréntesis y vamos a ir bajando, bajando, bajando hasta menos infinito y como menos infinito no es un número le ponemos su paréntesis normal ¿verdad? ¿Cómo se grafica? Nuevamente... tenemos nuestra recta... No sé, por ejemplo, 10/3 son como 3, 1/3 entonces por aquí andará el 0, el 1, el 2, el 3, y el 4 y estos son 3 enteros 1/3, entonces, más o menos va a andar por acá, por aquí andará el 10, el 10/3 y éste no lo incluimos, por eso dejamos la bolita abierta y nos tomamos todos a la izquierda, todos a la izquierda... Así se grafica mi solución. Vamos a hacer un último ejemplo... vamos a hacer un último ejemplo, apartado de lo que ya hemos hecho, por ejemplo "x" sobre -15 es menor que 8, Entonces misma, misma técnica, ¿cómo quitamos al -15? pues multiplicando por -15 de ambos lados, aquí multiplica a "x" sobre -15 y del otro lado me queda 8 por -15 y nuevamente como como esto fue multiplicar por un número negativo, la desigualdad cambia de orientación. Entonces ahora es un mayor que, esto se cancela, tenemos "x" mayor que 8 por -15 y 8 por -15 es 8 por 5... 5 por 8 son 40, llevo 4, 8 por 1 son 8 y 4 son 12 entonces es 120 y con este menos ahí se lo dejamos entonces ¿cuál es...? ¿Cómo se ve en términos de intervalo? Pues empezamos en -120 no lo incluimos, así que le ponemos este paréntesis y nos seguimos derechito hasta el infinito... O bien, si lo queremos graficar, tenemos esta recta ¿verdad? aquí a lo mejor andará el -120 quizá sacando el 0 y nos tomamos.. bueno, más bien el -120 no lo tomamos y nos vamos hacia la derecha ¿verdad? Entonces puedes intentar algunos números, por ejemplo el 0, el 0 funciona, pues sí claro, 0 entre -15 es 0, que claramente es menor que 8, y aunque eso no demuestra nada puedes intentar cualquiera de estos números que se encuentren de este lado y deben funcionar. Así que espero que esto te haya resultado bastante útil. Nos vemos en el próximo vídeo.