Problema de desafío con números complejos (1 de 3)

tenemos este problema sean z 1 y z 2 2 números complejos distintos y z igual a 1 - por z uno más t por zeta 2 estos son importantes para algún número real te conté mayor que 0 y menor que 1 esto también suena importante dices y argumento de w denota el argumento principal de un complejo no 0 w entonces y nos dan varias opciones y la idea es que una o más de ellas pueden ser correctas vale entonces tenemos que ver cuáles son correctas ahora como pequeño recordatorio vamos a ver que era el argumento de un número el argumento del número complejo era el ángulo que se formaba al unir el origen con este número complejo y ver qué ángulo se hacía con el eje real déjame pintar un plano complejo para para para recordarlo entonces y aquí tenemos nuestro eje real y acá tenemos nuestro eje imaginario y por aquí tenemos un número complejo z número complejo z entonces para determinar el argumento unimos el origen con z es un poco chueco un poco más bonito sería algo así el origen con z y nos fijamos en el ángulo que se forma con el eje real entonces si este de aquí se llama digamos si estoy aquí es igual al argumento de z bueno después de este pequeño recordatorio vamos a ver qué pasa con cada uno de esos incisos vamos a empezar con el inciso a y lo que vamos a hacer es encontrar cada uno de estos sumandos y luego vemos si si nos da z 1 - z 2 vale entonces vamos a calcular primero cuánto es z menos z uno las normas de z menos z 1 y vamos a ver qué nos queda entonces necesitamos la norma de z menos zeta ok lo que vamos a hacer es sustituir el valor de z por esta z de acá entonces nos queda la norma de aquí z uno por uno es z 1 z 1 - t por z 1 este z 1 tz uno más t por z 2 t por z 2 ya eso tenemos que restarle z 1 - z 1 muy bien vamos a ver qué nos queda z 1 se cancela con z 1 eso está padre y lo que nos queda es pues este por z 1 con signo negativo y t por z 2 con signo positivo como los dos tienen te déjame factorizar la t entonces nos quedaría t x 72 menos z1 muy bien entonces eso de ahí es el primer sumando vamos con el sumando que está en morado entonces ese de ahí es z menos z 2 y misma idea sustituimos el valor de zeta que es z 1 - t por z uno más t por z 2 es estoy aquí menos y ahora hay que restar se está 2 - z 2 muy bien otra vez aquí tenemos algo x té y algo x té así que lo voy a factorizar entonces pongo primero z1 z2 z 1 - z 2 y a eso le voy a sumar le voy a sumar te por z 2 172 menos z 1 ok quizás convenga factorizar esto un poco más aquí hay z 2 - z 1 aquí hay z 1 - z 2 entonces déjame cambiarle el signo a este mira lo voy a hacer así lo voy a poner y lo voy a cambiar el signo este de acá para que nos quede z 1 - z 2 y aquí voy a ponerle menos t por z 1 - eta 2 z 1 - z 2 estoy haciendo esto para poder factorizar este z 1 - z 2 y este de acá vale en estos dos suman 2 entonces eso nos quedaría igual a datos igual a 1 - te suena la norma de 1 - t este por z 1 - z 2 z 1 - z 2 muy bien entonces ya tenemos el primer sumando y el segundo sumando vamos a ver qué pasa cuando los juntamos entonces si queremos hacer la suma nos quedaría este el verde citó la norma de t por z 2 - z 130 1 más la norma de 1 - t la norma de 1 - 1 - este x z 1 - z 2 ahora aquí tenemos norma de un complejo pero observa que aquí hay un real multiplicando este número complejo y los números reales pueden salir de la norma siempre y cuando salgan con valor absoluto entonces vamos a hacer eso vamos a sacar este y este 1 - t con valor absoluto de cada uno de estos suman 2 entonces esto nos queda igual a entonces este te sale que da valor a su valor absoluto de t eje x la norma de zeta 2 - z 1 y aquí tenemos que sumar tenemos que sumar en color morado el valor absoluto de uno menos t 1 t multiplicado por la norma de zeta 1 - z 2 pero observa sabemos que te es un número real que es mayor que 0 entonces valor absoluto de t éste y además sabemos que te es menor que 1 entonces uno este también es mayor que 0 por lo tanto su valor absoluto es uno menos t muy bien pero más aún de este término y este término de acá estos de acá son normas de dos números complejos que son 1 el negativo del otro entonces tienen exactamente la misma norma sale osea aunque éste va hacia un lado y éste va hacia el otro con respecto al 0 de todas formas tienen la misma magnitud la misma norma vale entonces la norma de zeta 1 - eta 2 es lo mismo que las normas de zeta 2 - z 1 y ahora si podemos juntar todo esto que sabemos para ver que estoy aquí es igual a la norma de z 2 - z 1 este lo estoy factor izando con este y aquí en un paréntesis en donde estamos factor izando podemos poner el valor absoluto de t que este y a eso sumarle el valor absoluto de 1 - t que es uno menos t simplemente estoy factor izando y aprovechando que la norma de un negativo es igual a la norma del número muy bien pero ve esto está padrísimo aquí la t se cancela con el menos t y nada más nos queda un 1 y de esta forma nos queda una vez la norma de zeta 2 - z 1 que es la norma de zeta 2 - z 1 y con esto concluimos que el inciso a el inciso a en efecto es correcto muy bien entonces le voy a dejar hasta aquí en este vídeo en los siguientes vídeos vamos a ver si b c y d también son correctos o no