Visualizar potencias de números complejos

Empezamos nuestro estudio de los números complejos al inventar un número, $i$‍, que satisface $i^2=-1$‍, y luego lo visualizamos colocándolo fuera de la recta real, una unidad sobre $0$‍. Con las visualizaciones ofrecidas en el artículo anterior, ahora podemos ver por qué ese punto en el espacio es un hogar tan natural para un número cuyo cuadrado es $-1$‍.

Verás, la multiplicación por $i$‍ da una rotación de ${90}^{\circ }$‍ alrededor del origen:

Puedes pensar que esto sucede porque $i$‍ tiene valor absoluto $1$‍ y ángulo ${90}^{\circ }$‍, o porque esta rotación es la única manera de mover la malla (dejando fijo al $0$‍) que coloca al $1$‍ en el lugar donde se encuentra $i$‍.

Entonces ¿qué pasa si multiplicamos dos veces por $i$‍ todo lo que está en el plano?

Es lo mismo que rotar ${180}^{\circ }$‍ alrededor del origen, que es la multiplicación por $-1$‍. Esto, por supuesto, tiene sentido, pues multiplicar por $i$‍ dos veces es lo mismo que multiplicar por $i^2$‍, que debe ser $-1$‍.

Es interesante pensar que si hubiéramos colocado $i$‍ en algún otro lugar manteniendo su cualidad característica $i^2=-1$‍, no tendríamos una visualización tan clara de la multiplicación compleja.

Juguemos un poco con multiplicar repetidamente por algún número complejo.

Toma el número $z=1+i\sqrt{3}$‍, que tiene valor absoluto $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$‍ y ángulo ${60}^{\circ }$‍. ¿Qué pasa si multiplicamos tres veces seguidas por $z$‍ todo lo que está en el plano?

Todo se estira en un factor de $2$‍ tres veces, por lo que al final es estirado en un factor de $2^3=8$‍. Del mismo modo, todo es rotado ${60}^{\circ }$‍ tres veces seguidas, por lo que en total es rotado ${180}^{\circ }$‍. Entonces, es lo mismo que multiplicar por $-8$‍. Así, $(1+i\sqrt{3}{)}^3=-8$‍.

También podemos ver esto usando álgebra, como sigue:

A continuación, supón que multiplicamos todo sobre el plano por $(1+i)$‍ ocho veces sucesivas.

Ya que la magnitud de $1+i$‍ es

$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$‍,

todo debe ser estirado ocho veces en un factor de $\sqrt{2}$‍, siendo finalmente estirado en un factor de $(\sqrt{2}{)}^8=2^4=16$‍.

Dado que el ángulo de $(1+i)$‍ es ${45}^{\circ }$‍, todo es rotado $8\cdot {45}^{\circ }={360}^{\circ }$‍ así que, en total, es como si no hubiéramos hecho ninguna rotación. Entonces, $(1+i{)}^8=16$‍.

Alternativamente, la manera de ver esto con álgebra es

Ahora comencemos con la pregunta inversa: ¿existe un número $z$‍ tal que, después de multiplicarlo cinco veces por todo lo que está en el plano, las cosas vuelven al mismo lugar? En otras palabras, ¿podemos resolver la ecuación $z^5=1$‍? La respuesta más simple es $z=1$‍, pero veamos si podemos encontrar otras.

Primero, la magnitud de tal número debe ser $1$‍, ya que si fuera mayor el plano se estiraría y si fuera menor el plano se encogería. La rotación es un animal diferente, pues puedes volver al mismo lugar donde comenzaste después de repetir ciertas rotaciones. En particular, si rotas ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ de toda la vuelta, así:

entonces hacerlo $5$‍ veces seguidas te llevará a donde empezaste.

El número que rota al plano de esta forma es $\cos ({72}^{\circ })+i\sin ({72}^{\circ })$‍, pues ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{5}}={72}^{\circ }$‍.

También hay otras soluciones, como rotar ${\displaystyle \frac{2}{5}}$‍ de toda la vuelta.

O ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ de toda la vuelta en la otra dirección:

De hecho, hermosamente, los números que resuelven la ecuación forman un pentágono perfecto sobre el círculo unitario:

Resolver la ecuación $z^6=-27$‍ significa encontrar un número $z$‍ tal que multiplicar este número $6$‍ veces seguidas lo estirará en un factor de $27$‍ y lo rotará en un ángulo de ${180}^{\circ }$‍, pues el signo negativo indica una rotación de ${180}^{\circ }$‍.

Algo que se estirará por un factor de $27$‍ después de $6$‍ aplicaciones debe tener magnitud $\sqrt[6]{\phantom{A}27}=\sqrt{3}$‍, y una manera de rotar ${180}^{\circ }$‍ después de $6$‍ aplicaciones es hacerlo por ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{6}}={30}^{\circ }$‍ cada vez. Entonces, un número que resuelve la ecuación $z^6=-27$‍ es

¡Sin embargo hay otras respuestas! De hecho, estas respuestas forman un hexágono perfecto sobre el círculo de radio $\sqrt{3}$‍:

¿Puedes ver por qué?

Generalicemos los últimos dos ejemplos. Si se te dan los valores $w$‍ y $n$‍ y se te pide encontrar $z$‍ (como en el último ejemplo, donde $n=6$‍ y $w=-27$‍), primero debes encontrar la representación polar de $w$‍:

Esto significa que el ángulo de $z$‍ debe ser ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍ y su magnitud $\sqrt[n]{\phantom{A}r}$‍. De esta manera, multiplicar $z$‍ un total de $n$‍ veces hará una rotación de $\theta$‍ y un escalamiento por $r$‍, como lo hace $w$‍. Así,

Para encontrar las otras soluciones, debemos tener en mente que el ángulo $\theta$‍ pudo haber sido pensado como $\theta +2\pi$‍, o $\theta +4\pi$‍, o $\theta +2k\pi$‍ para cualquier entero $k$‍, pues todos estos ángulos son en realidad el mismo. La razón por la que esto es importante es que el valor ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍ cambia si remplazamos $\theta$‍ por $\theta +2\pi k$‍ antes de dividir. Entonces, todas las respuestas están dadas por

para algún valor entero de $k$‍. Estos valores serán diferentes para $k$‍ entre $0$‍ y $n-1$‍. Cuando $k=n$‍, el ángulo ${\displaystyle \frac{\theta +2n\pi }{n}}={\displaystyle \frac{\theta }{n}}+2\pi$‍ es el mismo que ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍, pues los ángulos difieren en una rotación completa. Entonces, encontraremos todas las respuestas tomando $k$‍ de $0$‍ a $n-1$‍.