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Dividir números complejos: forma polar y exponencial

Mostramos cómo la división compleja afecta el módulo y argumento del divisor y del dividendo. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

tenemos aquí esta expresión peliaguda pero en realidad lo único que queremos hacer es dividir estos dos números complejos este número complejo en azul y este número complejo en verde de hecho ya nos los graficaron por acá así que veamos ustedes puede notar que estos de hecho los dos números están en forma polar y veamos el ángulo del primer número del número azul es siete puntos así que salimos de el eje real positivo y nos movemos nos lo vemos hasta acá ese es el ángulo y luego estamos a distancia 7 el origen así que 1 2 3 4 5 6 7 y llegamos a este punto así que este es mi primer número complejo este número de aquí y el segundo número complejo es un número que tiene argumento que tiene ángulos 7p y cuartos así que salimos de aquí y giramos hasta llegar a este punto y estamos a distancia 1 del origen de hecho podemos pensar que esto tiene un número 1 aquí adelante muy bien ahora nos piden divididos y como siempre los invito a ponerle pausa al vídeo y tratar de en primer lugar dividir estos dos números complejos y también graficar los pero bueno asumo que ya lo hicieron así que comencemos lo primero que pueden notar es que quizás esta expresión que se ve bastante horrenda igual y sería más fácil manejarla en la forma exponencial de los números complejos y para hacer eso lo que tenemos que hacer es notar que este cacho el cacho que está aquí entre paréntesis es igual a cuánto pues si utilizamos la fórmula de hoy leer la famosísima fórmula de oyler podemos notar que esto que está entre paréntesis es igual a por 7 y sextos siguiente a las 7 y sextos por y el elevado a las 7 x sextos por y así que todo este número azul en se podría escribir como 7 meses a las 7 y sextos 7 textos word y que hay del número que está abajo el denominador pues estamos dividiendo entre por de hecho no tendría que escribir el 1 pero bueno uno por qué lo escribo mejor por e a las siete y cuarto por i siete cuartos por fin y ahora podemos utilizar las propiedades de los exponentes para reducir esto cuanto nos haría si reduzco esto pues 7 entre 1 es simplemente 7 y ahora pongo la en la base de la exponencial a qué potencia pues voy a simplemente a restarle esta potencia a esta otra así que va a ser va a ser 7 p en 36 x menos - 7 p entre 4 por iu y ahora sólo se trata de reducir esta fracción reducir esta fracción de aquí vamos a tener más espacio y cuánto es cuánto es siete y sextos pues déjenme de una vez lo hago vamos a escribir esta resta con denominador común de 12 entonces 7 pieces extras es lo mismo que 14 pie 14 pi entre 12 y voy a multiplicarlo por y ya eso le tengo que restar tengo que restar 7 entre 4 con denominador 12 que sería 7 por 3 21 21 entre 12 cuánto es esto pues pongo mi denominador común que 12 14 - 21 es menos 7 así que todo esto sería menos 7 por fin entre 12 porque así que este número es igual a al menos 7 entre 12 por y perdón y el 7 se me olvidaba este 7 de aquí ok entonces ahora sólo es cuestión de graficar este número es un número que tiene argumento menos 7 pide entre 12 así que es algo de aquí el eje real positivo y me muevo -7 piña / 12 cada uno de estos pequeños arcos 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y aquí ya estoy en vías y que cada cada uno de estos pequeños fallos que está marcando un ángulo de d entre 12 así que para llegar a menos 7 y entre 12 me muevo de aquí menos 1 - 2 - 3 - 4 15 menos seis menos siete y con este ángulo me alejo siete unidades del origen uno dos tres cuatro cinco seis y llegaría a este punto de ese sería el número complejo que resulta de dividir estos dos números y observen como me tuve que mover conforme a las manecillas del reloj porque mi ángulo era negativo si el ángulo es positivo nuevo contra las manecillas del reloj y si el ángulo es negativo el nuevo conforme a las manecillas del reloj pero bueno entonces el resultado de dividir este número complejo entre este otro número complejo es éste el número complejo que dibuje aquí en magenta y por supuesto si quisiera no escribir esto en forma polar es también muy sencillo y es perfectamente válido esto sería lo mismo que 7 una magnitud por el coseno coseno de menos 7 pie entre 12 y 7 entre 12 más veces el seno de -7 pido entre todos estos dos números complejos son exactamente iguales