Forma polar y rectangular de números complejos

imaginemos que nos dan un número complejo zeta ceta que es igual a nose menos tres menos tres más dos entonces comencemos por visualizar dónde está este número complejo z en el plano vamos a poner por aquí nuestro eje imaginario y está nuestro eje imaginario y vamos a poner también nuestro eje real es real más o menos algo así ok entonces nuestro número complejo tiene parte real -3 así que 12 3 aquí estaría mi parte real en menos 3 y tiene parte imaginaria dos así que 12 2 y mi número complejo z nuestro número complejo z estaría justo y dónde está línea de la parte real -3 intersecta a esta línea de la parte imaginaria todo entonces estaría más o menos por aquí aquí está zeta de qué otro modo además de quedando la parte real y la parte imaginaria de qué otro modo puede especificar la ubicación de este número complejo z por ejemplo pensemos puedo especificar lo dando una magnitud y una dirección pues vamos a imaginar que conocemos la distancia que hay entre z y el origen esta magnitud que voy a llamar r y no me basta con especificar la magnitud la distancia entre z y el origen también tengo que dar la dirección así que necesito este ángulo de aquí este ángulo teta medido en radiales que se forma a partir del eje real positivo y lo que quiero hacer en este vídeo es tratar de relacionar r y theta con menos 3 y 2 y los invito a pausar el vídeo detenerlo en este momento y tratar de encontrar si les doy este número complejo menos tres más dos y en la forma rectangular cómo puedo obtener r y theta a partir de menos 3 y de 2 la familia que ya lo hicieron y vamos a empezar recordando la definición de las funciones trigonométricas a partir del círculo unitario déjenme dibujo aquí un círculo unitario en el círculo unitario más o menos algo así y vamos a recordar cuáles son las coordenadas de este punto que está aquí de la intersección de esta línea azul con el círculo unitario pues por definición si este ángulo mide te está entonces la coordenada x de este punto va a ser con seno de teta y la coordenada ye por definición de las funciones trigonométricas en el círculo unitario va a ser seno de teta muy bien pero eso es cuando este radio esta magnitud vale 1 en este caso tengo una magnitud de r en la dirección de teta así que podemos pensar que todo está haciendo escalado por un factor de r por lo tanto esta magnitud esta instancia de z acá no va a ser consciente está va a ser r veces coseno etc y yo sé que eso vale menos 3 así que menos 3 tiene que ser igual a r por el coste no de teta del mismo modo este esta magnitud de aquí que yo sé que es 2 tiene que ser igual a r por el seno de teta todo está siendo escalado por una magnitud de r por un factor de r r siendo de teta muy bien entonces cómo puedo a partir de estos valores obtener reconocen a beteta cuanto vale por ejemplo theta empecemos contenta pues recordemos recordemos que la tangente de teta una tangente del ángulo theta es igual el valor del seno de teta se nota / el co seno de eta / y cosenos de teta pero yo puedo multiplicar por r el número el numerador y el denominador sin cambiar el valor de esta expresión así que esto es lo mismo que eres en 9 t está dividido en 3 reconoce no detecta pero cuánto es eso pues yo sé que eres enoé teta válidos vale 2 y también sé que es reconocerlo de teta vale menos 3 al menos 3 de modo que la tangente de este ángulo de este ángulo theta tiene que ser igual a 2 / menos 3 o lo que es lo mismo a menos dos tercios otro modo de interpretar este resultado es como la pendiente de esta línea de la línea celeste porque cuál sería la pendiente pues mi avance mi desplazamiento en la dirección x de este punto hacia acá es de 3 positivo y me alza en realidad no es un alza sino es un descenso de menos dos así que tendría que la pendiente de esta recta la recta celeste es menos dos tercios de modo que si yo quiero obtener theta un partido de esta ecuación theta va a ser igual a la tangente inversa la tangente inversa de menos dos tercios ahora sí voy a sacarme calculadora y veamos cuál es la tangente a antes que nada hay que checar que esté en radiales si estoy en radiales así que ok y ahora sí cuál es la tangente inversa d - 2 tercios y me dice que es menos 5.88 vamos a decir menos 0.59 esto es aproximadamente menos 0.59 ahora eso tiene sentido pues este ángulo este ángulo corresponde a un ángulo que estaría en este cuadrante a este ángulo de aquí que es simplemente el ángulo que sería deformado por la continuación de este rayo así que en realidad este no es el ángulo que queremos tiene sentido que la calculadora nos haya dado este este ángulo porque este rayo tiene la misma pendiente que este rayo pero nosotros queremos este ángulo que está está a media vuelta de el rayo que tenemos así que en realidad lo que tenemos que hacer es sumar irradian es el ángulo que nos dio la calculadora la teta que realmente queremos teta va a ser igual a como más bien aproximadamente igual a menos 0.59 más bien y eso cuánto es eso es que vamos a poner fin más ping en 2.55 3 vamos a decir 2.55 2.55 ahora eso tiene sentido pues veamos si parto de aquí del origen el eje imaginario esta api medios radiales y pies 3.14 vamos a pensar así que pi medios es como 1.57 y esto sería piqué 3.14 15 92 etcétera entonces este número efectivamente está entre estos dos valores y por lo tanto si tiene sentido que este ángulo este ángulo y en radiales sea valor de teta ahora que hay ver cuánto va a leer pues para averiguar cuánto vale r podemos usar simplemente el teorema de pitágoras vamos a dibujar un triángulo rectángulo aquí simplemente voy a dejar caer esto y aquí se me forma un triángulo rectángulo este lado esta altura mide 2 x que es igual a esta altura 2 y este lado mide 3 a pesar de que la coordenada es menos 3 la longitud de este lado es 3 ahora yo sé que entonces r al cuadrado r va a ser igual a la raíz cuadrada de 2 al cuadrado más 3 al cuadrado qué cuánto es 2 al cuadrado es 4 3 al cuadrado es 9 así que r vale raíz de 13 bien y con esta información podemos reescribir a zeta ceta va a ser igual a ya no voy a escribir menos 3 sino que lo voy a sustituir por r coseno eta donde r es esta magnitud y vale raíz de 13 y theta es esta dirección y vale 2.55 radiales entonces z va a ser igual a ere coseno beteta que es lo mismo que raíz de 13 país de 13 por el coche no de 2.55 radian es de 2.55 + 2 todos pero dos es igual a r s no de 30 que es lo mismo que raíz de 13 raíz de 13 por el seno de 2.55 radiales por i por e incluso si quiero puedo puedo limpiar un poco este desorden y puedo hacer explícito que z es igual a el radio el radio que es raíz de 13 13 13 radio la magnitud del mundo x el coseno vamos a escribirlo con colores el radio es raíz de 13 13 x el consuelo de 2.55 radiales más veces más veces el seno de 2.55 radiales y de este modo de este modo es bastante claro que para llegar a zeta tengo que primero ir en ubicar la dirección de 2.55 radiales que es esta de aquí y luego alejarme una distancia de raíz de 13 del origen esta instancia de aquí y por eso cuando escribo un número complejo z en esta forma se llama la forma rectangular y cuando lo hago de esta manera se llama la forma polar