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Los focos de una hipérbola a partir de su ecuación

Transcripción del video

en el último vídeo aprendimos que una elipse puede ser definida como el lugar geométrico de todos los puntos donde la suma de las distancias a dos puntos especiales llamados focos y permítame dibujar todo esto entonces este es mi gx la suma de las distancias a estos dos puntos especiales llamados focos o puntos focales es una constante entonces si ésta es mi eclipse la voy a dibujar que se vea más o menos donde quiero que esté justo por ahí se ve más o menos bien está centrada en el origen no tiene que estarlo pero para nuestros propósitos hagámosla centrada en el origen si este es un punto focal justo aquí y este es el otro punto focal este link se podría definir como un conjunto de todos los puntos o el lugar geométrico de todos los puntos donde si yo tomo la distancia de cualquiera de estos puntos que existen en la elipse a cada uno de los focos si tomo esa distancia y la sumó a esta distancia entonces vamos a llamarlos vamos a llamar a éste de uno este es de 2 que eso va a ser igual a un número constante a lo largo de toda la elipse entonces sí tomó un punto al azar vamos a tomar otro punto a lo largo de la elipse digamos que tomó ese punto de aquí y sigue sumar a esta distancia y sumar a esta distancia a esa a esa distancia vamos a llamar ésta vamos a llamar a está justo aquí de tres y ésta es de cuatro la suma de estas distancias a los focos a lo largo de ésta el ipp se va a ser una constante entonces en este caso de tu voz más de uno esté más ése va a ser igual a la de tres más de 4 de tres más de 4 y esto va a ser verdad a donde quiera que vayas a lo largo de toda la elipse y aprendimos en el vídeo anterior que esta cantidad en realidad va a ser igual a todos a donde a es la distancia del radio semi mayor si ésta es la fórmula para la elipse de aquí es de donde proviene la x cuadrada sobre a cuadrada más ye cuadrada sobre b cuadrada es igual a 1 y aprendimos que los focos la distancia focal o la distancia desde el centro de la elipse de la elipse que es esta distancia justo aquí esta distancia focal es justo igual a la raíz cuadrada de la diferencia de estos dos números entonces sólo podemos decir que esta es la distancia focal de aquí a acá eso iguala la raíz cuadrada de si a es más grande entonces sería a cuadrada - b cuadrada que es el caso en este link sé si tenemos una elipse vertical y realmente no lo cubrían el último vídeo pero déjenme sólo mostrarles cómo se vería digamos que la elipse se ve algo como esto déjenme ver muy bien usaré azul digamos que la elipse se ve algo como eso en este caso nuestro radio semi mayor está ahora en la dirección que entonces esto es esto esté esto es a y en este caso ve es más grande que a cierto porque la elipse es alta y delgada en este caso los focos los focos siempre estarán en el eje mayor en este caso el eje mayor es el eje vertical así que los focos quedarán aquí y aquí y en este caso las distancias focales van a ser verticales desde el origen hacia abajo y verticales desde el origen hacia arriba y tenemos el lugar de ser a cuadrado - b cuadrada ahora cómo ve es más grande que a la distancia focal que es ésta va a ser igual a b cuadrada menos a cuadrada muy bien ahora hice todo eso para más o menos compararlo con lo que vamos a cubrir en este vídeo que son los puntos focales o focos de una hiper bola y una hipérbole la is es muy parecida a una elipse probablemente podrían podrían adivinar lo porque si ésta es la ecuación de una elipse está en la ecuación de una hipérbole la x cuadrada sobre a cuadrada - ch cuadrada sobre de cuadrada es igual a 1 o podríamos intercambiar estos donde al menos está frente a la x en lugar de la aie y podríamos cubrir eso en un segundo pero ésta hipérbola se ve algo como esto dejen de ver si puedo dibujar la dibujó los ejes y él y luego yo quiero dibujar las asiento tasas podrían intentarlo podrían ver algunos de los vídeos previos pero las cintas para este hipérbola van a hacer llegué es igual a más o menos pp sobre a x x así que se van a ver sólo dibujar éstas como líneas inclinadas así que se verían algo como eso y algo como eso esas son las cintas pero éstas están centradas en el origen porque no han sido desplazadas y entonces esto es lo que yo llamo un tipo de hipérbole la horizontal la forma en que pueden pensar lo es bien si resuelve parache verán que siempre van a estar un poco por debajo del asiento está la otra opción es y dicen bien pueden equis o ye ser igual a cero bien sí que es igual a cero eso nos pone sobre el eje cierto y obtenemos x cuadradas sobre a cuadrada es igual a 1 entonces si el che es igual a cero tenemos x cuadrada sobre a cuadrada es igual a 1 lo que significa que x cuadrada es igual a aa cuadrada lo que significa que x es igual a más o menos a entonces los puntos a coma 0,0 y el punto menos a menos a coma cero están ambos en esta hipérbola y como tienen a más o menos ser contenidos por estas cintas nunca pasan por ellos saben que esto va a ser una una hipérbole la que abre hacia la izquierda y hacia la derecha así que se verá algo como esto dejen de usar este color así que se verá algo hoy esta es la parte difícil se va acercando y acercando a ese lado y luego pueden ver esto como uno de los vértices de la híper bola iba a ir más o menos así donde esta distancia y no tenga semejanza aquí con la elipse esta distancia justo aquí déjenme hacer esto en un color más llamativo esta distancia justo aquí entre estos dos supongo que les podría llamarlos los cómos de las 12 elipses esa distancia justo ahí esto es a y esto también es a así que tienen una distancia de todos a que es muy similar a esta situación donde esta distancia es a y esta distancia es a así que la distancia entre los dos puntos a la izquierda y derecha en una elipse horizontal es la misma distancia entre los dos puntos a la izquierda y derecha en la híper bola es sólo que la híper bola abre hacia fuera mientras que la elipse abre hacia adentro muy bien pero todo el punto de este vídeo es discutir los focos como se podrán haber imaginado y lo toca un poco en el último vídeo que la hipérbola también tiene focos ellos abren ellos van a estar a la derecha ya la izquierda de estos dos puntos entonces esto es a déjenme hacer los dejen de hacer los en un color más brillante porque quiero que puedan verlos digamos que esos dos son esos son los focos y una hipérbola esto es note la diferencia una elipse una de las definiciones de una elipse era el lugar geométrico de todos los puntos o el conjunto de todos los puntos porque la distancia de cada uno de los puntos la suma de la distancia de cada uno de esos puntos a los dos focos es una constante ahora la definición de una hiper bola una de las definiciones de una hiper bola puede ser el lugar geométrico de todos los puntos donde tomándola la diferencia no la suma tomás la diferencia de las distancias entre los dos focos así que déjame escribir eso hace que ésta es de 1 y ésta es de todos así que tenemos una situación aquí y vamos a tomar podemos tomar el valor absoluto de la diferencia porque puede haber puede que para algunos puntos de uno sea más grande que dedos si están sobre esta curva pero sí están sobre esta curva de uno será más pequeña que de dos así que de uno menos de dos el valor absoluto va a ser igual a una constante en la situación de la elipse de uno más de dos era una constante así que están relacionadas estrechamente están en la elipse estamos tomando la suma de las distancias a los puntos focales y decimos que es una constante en una hipérbole la estamos tomando la diferencia de las distancias a los puntos focales y decimos que eso es una constante así que este número justo aquí va a ser exactamente la misma cosa que sí tomó un punto justo aquí y estoy escogiendo estos puntos arbitrariamente siempre y cuando estén en la hipérbola y si llamo estos dos puntos llamamos a éste de tres y de cuatro la diferencia entre d1 y d2 es la misma cosa que la la distancia la diferencia entre de 3 - d4 esto va a ser una constante a lo largo de toda la híper bola y entonces la siguiente pregunta es a qué va a ser igual esta constante y aquí es donde les es útil a encontrar un punto donde es donde más o menos puedes tener la intuición y lo hicimos con las elipsis donde dijimos a si tomamos estos puntos utilizamos la lógica en el último vídeo para decir o la distancia entre la suma de las distancias entre esto y esto esa suma va a ser igual a vimos va a ser igualados a es la la distancia del eje semi mayor cierto porque esta distancia era la misma distancia que esta distancia así que esto más esto es lo mismo que esto más eso que es 2 a ser tú así que todo el tiempo las constantes la suma de las distancias a los dos focos era igual a toxa y ahora en la hipérbole la cual es la diferencia de las distancias a los dos focos así que tomemos este punto justo aquí sobre la híper bola y estamos diciendo así que cuál es cuál es déjenme tomar un buen color cuál es la distancia magenta que es la distancia a ese foco - esto deja en escoger otro color - esta distancia azul claro esta distancia magenta - esta distancia azul claro así que podemos hacer un argumento muy similar al que hicimos en la situación de la elipse esta distancia azul claro es la misma está la distancia de este vértice o de éste porque saben este punto más a la izquierda de esta hipérbola que abre hacia la derecha a este foco es la misma distancia que esta distancia porque la hipérbole simétrica alrededor del origen o la distancia focal es la misma a cada lado del centro de la híper bola dependiendo de cómo lo vean pero creo que eso es un ese no es un gran argumento para que ustedes lo acepten así que si esta distancia es la misma que esta distancia entonces la distancia magenta - esta distancia azul claro va a ser igual a esta distancia a esta distancia verde cierto y esta distancia verde es que éstos a vimos eso al principio de este vídeo así que esto es una vez más es también igual a todos a de cualquier manera los voy a dejar aquí por ahora de hecho bien para vamos de hecho hacer un problema más sólo porque me gustaría hacer uno concreto porque les dije al principio que si ustedes querían encontrar la digamos la así que si tienen una elipse así que si ustedes y esto es una elipse x cuadrada sobre a cuadrada más eché cuadrada sobre b cuadrada es igual a 1 aprendimos que la distancia focal es igual a larra is cuadrada de a cuadrada - b cuadrada ahora para la híper fue a ustedes ustedes más o menos bien que hay una relación estrecha entre la elipse y la hipérbola pero es más o menos algo divertido para reflexionar sabe y la ejecución de una hipérbole acb como esto x cuadrada sobre a cuadrada - llegó a travã sobre de cuadrada es igual a 1 o podría ser que cuadradas o breve cuadrada - x cuadradas sobre a cuadrada es igual a 1 y resulta que les voy a probar esto en el siguiente vídeo es un problema de matemáticas pesado que la distancia focal de una hiper bola es igual a la raíz cuadrada de la suma de estos dos números y se iguala su mate a cuadra damas b cuadrada así que si yo les diera y noté que la diferencia es sólo la diferencia en signo están tomando la diferencia de esos dos denominadores y ahora están tomando la suma de los dos denominadores así que si yo les diera ustedes la siguiente hipérbola x cuadrada sobre nueve menos que cuadraba sobre 16 es igual a uno bien la primera cosa que hacen es aunque yo nunca bien podríamos cifrar la distancia focal sólo conectándonos a la fórmula la distancia focal es igual a la raíz cuadrada tea cuadra damas b cuadrada donde esto es a cuadrada cierto estrés b es cuatro así que nueve +16 es 25 lo que es igual a 5 y si fuéramos a graficar esto déjenme b ese es mi jefe y ese es mi eje x es la distancia focal es la distancia a la en este caso a la izquierda ya la derecha del origen si fuera del tipo de él pero la que abre hacia arriba y abajo sería por encima y por debajo del origen así que esto es así que las cosas en total esto está centrado en el origen no ha sido desplazado a nacer 16 sobre nueve así que van a hacer unas muy empinadas así en todas se van a ver algo como eso y eso esas son las asiento estás tú sus vértices están en dos veces a a estrés cierto a cuadrada es igual a 9 b es igual a 16 así que esto es centro hace que los dos vértices este estrés y éste es menos tres y entonces los puntos focales para estar en 5 desde el centro a la derecha así que estará justo aquí entonces es 5,0 5,0 y menos 5,0 éste es menos tres y este stage entonces si fuéramos a graficar lo sería algo como esto ahí tiene y si tomaran arbitrariamente un punto sobre esa hipérbola y toman esta distancia y sustraen esa de esa distancia entonces sería un número constante que sería exactamente igual a 2 a exactamente igual a 6 en este particular ejemplo de cualquier manera en el siguiente vídeo les probaré esta fórmula lo que es un poco de álgebra intensa pero es divertido a pesar de todo