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Los focos de una elipse a partir de su ecuación

Transcripción del video

digamos que tenemos una elipse con la siguiente ecuación x cuadrada sobre a cuadrada más cuadrada sobrevive cuadrada igual a uno y para comenzar nuestra discusión asumamos que a es mayor que ve y todo esto para nosotros nos deja saber que será una elipse un tanto gorda y un tanto corta o bien que el semieje mayor será el horizontal y que el eje menor será a lo largo del vertical y déjame dibujar esto para que se vea más caro dibujemos la elipse un poco más dureza así que nuestra el dif se va queda algo como esta forma luego entonces vamos a dibujar nuestros ejes éste venía siendo el eje de las x el horizontal y éste nuestro eje ye el vertical nosotros hemos hemos estudiado una elipse muy detalladamente en otros vídeos así que sabemos cómo figurarnos el semieje menor o el rayo menor que en este caso sabemos que es ve que es el mismo b de acá y este es el radio menor porque ve es más pequeño que a y si ve fuera más grande sería entonces el radio mayor y por supuesto el semieje mayor y una propiedad realmente importante quizás hablando en cuanto al elche a la propiedad más importante es que si tomás cualquier dos puntos que tú quieras y los miles de millas la distancia de estos dos puntos importantes con los que empezamos esta discusión y bueno esto va a ser en general no sólo para este caso particular vamos a llamar los focos de esta elipse y ellos o estos dos puntos son siempre a lo largo del eje mayor donde en este caso sería el eje horizontal y son simétricos alrededor del origen así que ya vemos a estos dos puntos y este 1º de aquí le vamos a poner le llamaremos f1 de foco 1 y esté de por acá va a ser efe dos están señalando nuestros focos y entonces esta propiedad es la propia fascinante en cuanto a la elipse y normalmente es utilizada para darle la definición a la elipse pues si tomamos cualquier punto en dicha elipse y mide la distancia entre cada uno de estos puntos digamos que tenemos de dicha distancia por aquí y la llamaremos de uno y luego tenemos otra distancia por acá a la cual llamaremos dedos entonces si tienes cualquier punto límite es la distancia de ese punto hacia los focos dicha distancia vamos a pintar de dos de diferente color para que se identifique que es una distancia diferente a de 1 historia por aquí entonces si tienes este punto y mide la distancia de este punto a los focos y las sumas de uno o más dedos te va a dar una constante dicha constante va a ser igual a 2 ha hecho aquí lolo padre o lo importante es que esto es válido esta suma de distancias es válida esa igualdad para cualquier punto que tú elijas sobre la elipse pues es lo que nos define en sí lo que es una dice pero para que esto quede más claro y estar con la certeza de que entiendes lo que estoy diciendo vamos a tratar de probar dicha igualdad entonces tenemos esto de aquí y vamos a medir la distancia de este punto a este foco y la vamos a llamar a esta distancia de 3 y luego midiendo la otra distancia de este punto a este otro foco y la llamaremos de 4 esta distancia de por acá de el punto al otro foco de cuatro y sumando estos dos puntos esto sigue siendo igualados a entonces déjame dibujarlo de tres más de cuatro igualados a sigue siendo igualados a lo que significa que de hecho esto es frecuentemente utilizado como la definición del ipse donde dice que la elipse es el conjunto de puntos o lugares le podemos llamar lugares para referirnos a una representación gráfica del conjunto de todos los puntos donde la suma de las distancias de los puntos a dichos focos es igual a una constante y podemos jugar un poco con esto y figurarnos cómo serían los focos de la elipse pero lo primero aquí es sentirse satisfecho de que la distancia si esto es verdadero es igual a 2 ah y la forma más fácil para visualizar esto es tomando esos puntos extremos por así decirlo a lo largo de este eje por acá y ya justo con esto estamos como afirmando que dicha distancia de aquí acá déjame remarcarlo con otro color que esta distancia más esta instancia de por acá será igual a algún número constante y utilizando este punto extremo quiero mostrarte que dicha constante será igualados a así que visualicemos como para esto sería y así que una cosa más por realizar es que estos dos puntos o focos son simétricos a partir del origen porque cualquier distancia y en especial estar aquí será igual a una distancia semejante de por acá entonces puesto que ambos puntos son simétricos alrededor del origen esté aquí es la misma distancia de acá y la suma de esta distancia con esta distancia larga de por acá que que nos estaría arrojando dicha dicha suma de distancia de la distancia larga con una corta y bueno estoy aquí es la misma de la distancia de por acá y al sumarle al haber de cualquiera de estas dos vamos a ponerles nombres para que los científicos e identificamos esta va a ser la distancia g y está la distancia hasta entonces dije es la misma que acá también esa distancia se llama g y entonces cuál es el diámetro y enteró del eje mayor de la elipse bueno pues nosotros sabemos que el radio mayores a entonces éste también está y entonces la distancia a la suma de la distancia de este punto de elipse a este foco más este punto del ipse a este otro foco es igual ag masache o esta distancia verde lo cual es lo mismo que el diámetro mayor de esta elipse lo cual es igual a 2 am justo lo suficiente realmente espero que sea suficiente para que entiendas esto entonces ahora lo siguiente que vamos a realizar es cómo visualizar dónde van estos focos o si tenemos esta ecuación como figurarnos donde estarían dichos puntos así que la primera cosa que vamos a realizar es que no nos importa a dónde a dónde vamos pues será fácil ver estos puntos pero si tomamos este punto de aquí decimos ok cuál es la distancia y luego sumamos esta otra distancia lo cual también debe arrojar un resultado igualados a y podemos utilizar esta información de hecho para ver en dónde están los focos así que digamos deja dibujo otra elipse no en rusia esto fue un círculo así que esta es mi luxe y luego dibujamos el eje el eje de las x el eje horizontal el eje vertical y tenemos la siguiente ecuación x cuadrada sobre la cuadrada más cuadradas o breve cuadrado igual a 1 para no perderle el libro las cosas y decimos que tenemos estos dos focos que son simétricos entonces si tomamos este punto de acá por lo regular los puntos extremos muy útiles para tratar de entender este tipo de ejemplos no siempre pero muchas veces resultar y decimos que tenemos estos dos focos que son simétricos alrededor del centro de nuestra el ipse entonces éste sea f1 y f2 y ya hemos dicho que una elipse ese lugar de todos los puntos o el conjunto de todos los puntos donde símiles la distancia de dichos puntos a los focos y las sumas obtendremos una constante donde la constante la visualizamos como 2 luego de que visualizamos estoy tomamos esta distancia y la sumamos la distancia de acá será igual a 2 ahí podemos decir que esto es así si llamamos a esta distancia de 1 y la distancia de 2.000 asumamos es igual a 2 a entonces lo interesante aquí de todo esto es que estos simétrico cierto entonces esta distancia ave 1 será igual a dedos pues todo está haciendo simétrico entonces estos dos focos y sus longitudes son simétricas y esta distancia de aquí es la misma distancia que tenemos por acá y de uno será igual a a y dedos pues ya no hay otra forma también será igual ha puesto que este punto de aquí es el centro de la elipse entonces nuestra elipse simétrica alrededor de los ejes así que si de uno es igual a dedo si esta suma es igual a 2 a pues con esto podemos deducir que ve uno es igual a y esta otra también sería igual a entonces creo que ya con eso es suficiente y se ha entendido demasiado y tenemos un gran progreso otra cosa que pensar acerca de todo esto y creo que estamos listos para preguntar lo respecto a nuestro dibujo sería que es que cuales esta distancia haciendo que nuestro rafa es nuestro radio menor y como ya lo habíamos aprendido es b y por supuesto es la longitud focal que tratamos de visualizar y esto si te das cuenta lo puedes como decir hey y esto parece el teorema de pitágoras o es algo parecido entonces tenemos la longitud focal y vamos a hacer lo siguiente va a ser efe cuadrada más de cuadrada igual a cuadrada y ahora que tenemos esta bonita ecuación en términos de b y a y sabemos lo que a iverson en dicha ecuación nos está dando la elipse entonces vamos a a despejar y entonces la distancia focal sea igual a la raíz cuadrada a cuadrada - b cuadrada entonces son dos números cual largos como quieras o tan cortos como tú decidas tomás la raíz cuadrada y esa será la distancia focal ahora veamos si podemos usar esto para aplicarlo en algún problema donde tendríamos que preguntarnos por la longitud focal o por encontrar las coordenadas de los focos así que digamos que es la siguiente ecuación tenemos x tenemos siguiente ecuación x menos uno al cuadrado sobre nueve más che +2 al cuadrado sobre cuatro igual a uno así que veamos cómo sería la gráfica de esto y resulta bastante interesante así que dibujando los ejes tenemos por aquí nuestro eje horizontal luego nuestro eje vertical debe inmediatamente hay que ver cuál es el centro del ipv y pues sería el punto uno coma menos dos y si esto te causa un poco de confusión de saber cómo sabemos que es el centro pues puede revisar videos previos para que te facilite las cosas entonces x es igual a 1 y es igual a menos dos entonces el centro se encontraría por aquí después el eje largo mayor de las x pues este número a cuadrada igual a 9 entonces a es igual a más o menos tres así que por aquí tenemos uno dos tres y luego menos tres por acá hay que tener cuidado de ver bien dónde está el origen para que no cometamos ningún error a la hora de dibujar nuestra elipse entonces eso fue en cuanto a la elección de la aie hay que checar ahora que su radio menor será igualado cierto pues ves igualados entonces son dos unidades para arriba y dos unidades para abajo y está el ipp se va a lucir algo como así y hagámosla de color verde y entonces se ve de esta forma y lo que queremos hacer es encontrar las coordenadas de los puntos focales donde éstos estarán a lo largo de éste se me elige mayor y ahora necesitamos figurarnos estas distancias focales y lo esencialmente sumarlas y sustraer las del centro para obtener sus coordenadas lo que hemos simplemente mostrado es que la distancia focal la distancia focal es solamente lo siguiente la raíz de nuestras constantes a y b cuadrada entonces sería la raíz de 9 - cuatro y en este ejemplo nuestra distancia focal es la raíz de cinco así que el punto de aquí el que mostramos es el centro con 1 con -2 el centro 1,22 por lo que la coordenada del foco de acá será uno más la raíz de 51 más la raíz de 5 - coma menos dos y luego la coordenada del otro foco va a hacer 1 - raíz de 5,22 y todo lo que hace o hicimos simplemente es que tomamos la distancia focal las la pusimos desde lo largo del eje mayor entonces sólo sumisos traje esto de las coordenadas de las x para obtener estas dos coordenadas de acá de todos modos todo esto es realmente necesario para cuando hablamos de una sección de las secciones de icónicas si éstas tienen estas interesantes propiedades en relación a los focos y sus puntos en futuros vídeos vamos a mostrarte los focos pero de una hiper bola o los focos de bueno la parábola sólo tendría un foco y todo comienza a tener bastante bastante sentido y en nuestros próximos videos estaremos realizando más otro tipo de cuentas matemáticas en cuanto a nuestra sección de económicas