Intersección de un círculo con una hipérbola

el círculo x cuadrada malla cuadrada menos 8 x igual a cero y la hipérbola x cuadrada sobre 9 menos cuadradas sobre 4 igual a 1 intersectan al punto b y la ecuación del círculo con ahí ve cuál diámetro es la siguiente entonces hay que visualizar el círculo en hipérbola entonces tenemos que la ecuación del círculo sería x cuadrada tenemos la ecuación del círculo x cuadrada massieu cuadrada menos 8 x espera mejor lo voy a escribir juntando las x para más adelante utilizarlo entonces aquí tenemos ya cuadrada y esto es igual a 0 y podemos agregar de ambas partes 16 y esto de agregar el 16 es para poder utilizarlo a la hora de completar el cuadrado entonces esta parte de aquí se convierte en el x menos 4 al cuadrado más que cuadrada y todo esto es igual a 16 ahora bien con dicha información vamos a formar nuestro círculo este es el eje de las x nuestro eje de la siesta y luego tenemos que el centro está en 1234 en el 40 y el radio es la raíz de 16 por lr cuadrada y entonces tenemos que es 4 1 2 3 4 y todo esto lo estoy haciendo a una mejor escala para que me quede mejor dibujada mi circunferencia entonces tenemos que el círculo marcamos estas nuestros puntos claves para trazar lo mejor entonces lo voy a pintar por aquí de color morado y nos quedaría de la siguiente forma no soy la mejor dibujante de círculos pero es para que quede la idea y luce nuestra si nuestro círculo algo así lo estoy remarcando mejor pero bueno luego tenemos la hipérbola x cuadrada sobre 9 - de cuadrada sobre 4 igual a 1 y entonces hay que ver ahora que el término x cuadrado es positivo y esto nos sirve para ver que de un lado va a abrir de forma positiva la hipérbola y ahora también que checarlo para las 'íes' entonces tenemos nuestra ecuación y restando de ambos lados cuadradas sobre 4 nos queda que es menos de cuadrado sobre 4 igual a menos x cuadradas sobre 9 más 1 y luego entonces podemos multiplicar por 4 ambas partes de la ecuación x menos 4 perdón para que quede de la siguiente forma y también a su vez como queremos dejar libre la jep podemos sacar raíz de esta ecuación entonces nos quedaría la raíz cuadrada de 492 de x cuadrada menos 4 ahora observemos bien tenemos aquí dos términos pero este término justo de aquí enrollando nos está alterando tanto nuestra ecuación porque cuando x tiende a infinito este número no afecta al infinito entonces lo que podríamos hacer sería dejar simplemente nuestro primer término quitar el menos 4 que no nos afecta en lo absoluto ya sacar raíz ahora sí de cuatro novenas de x cuadrada tendríamos que es dos tercios d y ahora trazando dicha dicha recta tendríamos lo siguiente tenemos por aquí dos tercios de equis y cuando x vale cero esto es cero y parte de aquí y dicha recta va a ser simétrica dado que estamos hablando de la raíz entonces es para más dos tercios de equis y menos dos tercios de equis y ahora si nos vamos a la ecuación de la hipérbola y vemos dónde intersecta al eje de las x dicha ecuación podemos ver que sigue vale cero y despejamos a x esto nos va a quedar la raíz de 9 entonces es más tres y menos tres y el punto más tres es lo que estoy dibujando por aquí es esta parte de la hipérbola y la otra parte de la hipérbola y en el menos tres que se vería por acá pero que ahorita no nos importa analizar pues no está en la circunferencia ahora bien ellos nos dijeron que la hipérbole intersecta al círculo en el punto a y b y dichos puntos va a ser éste el a y éste de acá él ve y la pregunta que nosotros tenemos es que cuando la ecuación intersecte al círculo en el punto a y b como diámetro creo que puedo dibujar mejor dicha línea recta y ver como su diámetro de esa circunferencia lo que tendríamos que hacer es checar cómo la hipérbola intersecta a este círculo y ver la forma de realizarlo tal que nosotros podamos encontrar las equis cuadradas del círculo y sustituirla en la cuadrada por aquí y así también encontrar con este procedimiento su centro entonces hay que figurar nos donde van a estar los valores de jay y los valores de x respecto a lo que tenemos de esta hipérbola y estos puntos y b y así encontrar la ecuación de dicha circunferencia que vamos a buscar entonces observemos bien esta ecuación tenemos aquí x cuadrada más de cuadrada menos 8 x igual a cero y bueno voy a escribirlo por acá de color amarillo sabemos que ye cuadrada de despejar esta ecuación tendríamos que es igual a 8x y pasamos la x cuadrada del otro lado simplemente estamos despejando o si tú quieres llamarle que añadimos o restamos de ambas partes de la ecuación para encontrar la y es lo mismo y ahora vemos que en esta ecuación de la hipérbola tenemos que es x cuadrada sobre 9 - ye cuadradas sobre 4 igual a 1 lo que podríamos hacer es que en lugar de ponerle cuadradas sustituir este valor que tenemos de la circunferencia por aquí arriba que sería 8 menos x 8 x menos equis cuadrada y con esto hay que resolver nuestro problema hay que visualizar cómo podemos aprovechar dicha información y resolverlo entonces aquí tenemos acá abajo x cuadradas sobre 9 - y aquí ya voy a comenzar a multiplicar por el menos en este lado de la ecuación y a dividir entre 4 entonces nos quedan menos 2 x mas x cuadrada sobre 4 simplemente estamos desarrollando y esto va a ser igual a 1 ahora también podemos observar que 9 y 4 como factor común y en el 36 entonces podemos multiplicar de ambas partes de la ecuación para eliminar las fracciones entonces 36 entre 9 tenemos que es 4x cuadrada unos 36 x 272 x + 36 entre 4 es igual a 9 x cuadrada y todo esto es igual a 36 y si ves estos términos que acaba de subrayar de azul son términos cuadráticas entonces los voy a sumar nos quedan en 72 x y de este lado pasó el 36 y toda esta ecuación es igual a 0 y aquí ya se ve claro que tenemos una ecuación cuadrática entonces simplemente podemos utilizar nuestra fórmula general y sacar los valores de x entonces tenemos que x va a ser igual a menos b pero en este caso es menos 72 x menos uno de 72 más menos la raíz de otra vez b al cuadrado que es lo mismo que tener 72 x 72 menos 4 veces a que es 13 menos el 36 nos va a cambiar el signo positivo y todo esto sobre 2 a que 2 avn de haciendo 2 por 13 que sería 26 y ahora quizás lo complicado ya aquí sería reducir términos llegar a una a una expresión más simple pero si observamos tenemos mucho de dónde sacar tenemos por acá que 72 por 72 pero a su vez es lo mismo que si tuviéramos dos veces 36 por dos veces 36 esto es lo mismo que 72 por 72 y vamos a agregarle la otra parte de la suma que vendrá siendo x + 4 veces por 13 por 36 y vamos a poner el 36 adelante para observar lo siguiente y todo esto está dentro de la raíz ahora si ves bien en esta parte de nuestra raíz tenemos por un lado cuatro veces 36 de esta lado de la suma pero también aquí 2 por 2 nos da 4 y también tenemos que estar multiplicando por un 36 entonces me voy a extender un poquito más para que quede mejor las cuentas y tenemos que esto es la raíz vamos simplemente a factorizar el término que tienen en común estas dos partes de la suma tenemos que esto es 4 por 36 aquí está multiplicando toda esta expresión también a un 30 y esta parte de la suma está multiplicando a 13 entonces aquí simplemente factor izamos y ahora bien esta multiplicación de 36 por 4 te va a dar 144 y la suma de 36 y 13 es 49 ya que ya no hay mayor problema porque ambos términos o ambos números tienen raíces exacta entonces tenemos que esto la raíz de 144 es 12 y la raíz de 49 7 y 12 por 7 es igual a 84 entonces ya se redujo tenemos entonces que x va a ser igual a 72 más menos 84 y todo esto es este término y todo esto sobre 26 pero ahora también hay que observar una cosa nos interesa que si le restamos al 72 84 nos queda un término negativo pero eso está totalmente fuera de lo que nos interesa saber de la circunferencia que se encuentra del lado derecho entonces vamos a sumarle nada más al 72 84 para que nos quede un punto que esté dentro de lo que nos interesa entonces 72 más 84 todo esto no hay que dividir la hora entre dos para que los reduzcamos un poco más es 36 más 42 sobre 13 y esto a su vez y 78 sobre 13 pero si es esta división si no me equivoco 78 entre 13 es igual a 6 13 por 6 nos da 78 entonces esto es igual a 6 y ahora nos va a interesar encontrar la otra coordenada del punto tenemos que tenemos que x es igual a 6 entonces simplemente ya es más sencillo y es mucho más bonito encontrar el punto y porque podemos sustituir el 6 en esta ecuación que tenemos aquí tenemos que ya cuadra desigualdad 6 por 8 48 y 6 al cuadrado es 36 entonces vamos a tener que ese cuadrado igual a 48 menos 36 y esto va a ser 12 entonces lleva a ser la raíz de 12 así que tenemos que nuestro punto es 6 coma la raíz de 12 podríamos simple esperar aquí ya me equivoqué el 60 representa el centro espero esto sea un tanto evidente y el punto que acabamos de encontrar que es el a raíz de 12 es del punto a que tenemos por acá arriba porque recuerda que tenemos que es igual a más o menos la raíz de 12 entonces el punto b va a representar al 6,2 raíz de 12 y prácticamente lo hemos hecho ya tenemos nuestro punto a nuestro punto b y sabemos que el centro es el 60 de dicha circunferencia que acabamos de dibujar entonces ahora hay que encontrar su ecuación entonces vamos a trabajarlo por aquí abajo tenemos que es entre 60 entonces esto va a ser igual a x menos 6 al cuadrado más menos 0 al cuadrado y todo esto es igual al radio al cuadrado y el radio viene siendo esta altura de por aquí de la circunferencia o bien el valor de jett que acabamos de encontrar pero es el radio al cuadrado entonces si es la raíz de 12 al cuadrado esto viene siendo simplemente 12 y como está esta ecuación ahora busquemos dentro de nuestras opciones pero hace falta antes desarrollar y ya entonces tenemos que esto es igual a equis cuadrada menos 12 x 36 más cuadrada a 12 igual a 12 pero hay que restar ahora también de ambos lados 12 para que nos quede igual a 0 la ecuación entonces esto es igual a equis cuadrada menos 12 x más 24 más cuadrada igual a 0 y ahora la voy a recortar y la voy a poner por allá arriba para que logremos comparar con nuestras opciones de respuesta entonces la voy a pegar por aquí la vamos a pegar y justo aquí la voy a poner entonces si te das cuenta es x cuadrada aquí está el término de la ye cuadrada menos 12 x más 24 igual a 0 y la respuesta con dichos términos en menos 12 x más 24 y los términos cuadra ticos es la a esa es nuestra respuesta correcta y lo hemos hecho hemos logrado encontrar nuestra circunferencia