Representar una recta tangente a una hipérbola

después de haber lidiado con muchos de estos problemas de examen de ingreso me di cuenta que hay problemas en los que sólo esperan que sepas algo y de hecho eso es lo que voy a cubrir en este vídeo una de esas cosas que sólo esperan que sepas lo que voy a hacer es desarrollar la relación entre secciones cónicas y en particular nos enfocaremos en la hipérbola y una línea tangente hicimos esto en un problema anterior pero no era el caso general así que si tenemos digamos que tenemos una hipérbola que abre a la izquierda y a la derecha por lo que tenemos la ecuación x cuadrada sobre a cuadrada menos g cuadrada sobre b cuadrada es igual a 1 si quiero graficar esa hipérbola se vería algo así ese es el eje x este es el eje abre hacia la derecha abre hacia y abre a la izquierda y en caso de que seas curioso este punto de aquí si dices que es igual a 0 este punto de aquí es como 0 y este otro es negativa negativa coma lo que quiero hacer es encontrar una relación entre estas as ibex y la ecuación de una línea tangente así que digamos que tengo una línea tangente que se ve algo así esto es tangente solo en este punto de aquí y entonces se vería algo algo así y digamos que la ecuación para esta línea tangente es jay igual m x donde m es la pendiente más y en lugar de decir b para la ordenada al origen normalmente llamaríamos a la ordenada al origen b para una línea pero ya usamos la b aquí en la ecuación de la hipérbola por lo que déjame llamar a esta entonces la cee y esto es un poco inusual esta va a ser la intersección en sí así que veamos si podemos encontrar una relación entre las semis las es la paz y las ves y estamos de hecho utilizando un problema tipo examen de ingreso sospecho que el próximo problema que haga también va a utilizar lo mismo se han visto muchos de mis vídeos de cónicas verán que suelo demostrar las cosas desde los primeros principios porque en la vida no puedes sólo memorizar fórmulas no sabrás de dónde vienen las memorizar has mal y no entenderás lo que significan realmente pero si vas a tomar un examen de ingreso te recomendaría que y solo porque sé el poco tiempo que dan a estos problemas y si tienes que demostrar desde los primeros principios no serás capaz de aprobar los por lo que te sugiero que utilicemos una relación déjame dejar de hablar o más bien déjame dejar de hablar sin dibujar así que solo veamos dónde se intersectan y lo importante aquí es que sólo van a inter secar solo baninter secar en un punto así que lo que haré aquí es resolver para que cuadrada por aquí podemos multiplicar a ambos lados de esta ecuación multiplicamos ambos lados de la ecuación por de cuadrada negativa por lo que tenemos menos de cuadrada sobre a cuadrada por x cuadrada más ye cuadrada y ya multiplique por be cuadrada negativa es igual a menos es igual a menos b cuadrada y ahora sumemos esto a ambos lados de la ecuación y tenemos que cuadrada es igual a b cuadrada sobre cuadrada por equis cuadrada menos de cuadrada así que solo reescribir la ecuación de la hipérbola y escribamos esto también en términos de ye cuadrada y luego las podemos igualar una con otra por acá por acá en este color amarillento si elevamos al cuadrado a ambos lados tenemos que cuadrada es igual m cuadrada x cuadrada más 2 veces el producto de ambos términos así que es más 2 m x + + se cuadrada entonces para que se interese que en ambos tienen que estar en el mismo lugar en alguna xy y por lo que podemos igualar está adecuada a esa ye cuadrada y luego intentar resolver para x y aún así no podré resolver para x porque hay muchas variables pero podemos encontrar una relación entre esta esta vez esta m y ésta c para que sólo haya un punto de intersección que por definición deberá de estar en la línea tangente hagamos eso tenemos m cuadrada m cuadrada x cuadrada + 2 m x cuadrada es igual a es igual a b cuadrada sobre a cuadrada x cuadrada menos b cuadrada y escribió un ejercicio muy similar a este en el vídeo pasado de exámenes de ingreso pero aquí me quiero enfocar en el caso más general para que tengamos algo que podamos añadir a nuestra caja de herramientas así que escribamos esto en términos de una ecuación cuadrática en x entonces si restamos esto en ambos lados tenemos m cuadrada m cuadrada menos de cuadrada sobre a cuadrada menos b cuadrada sobre a cuadrada por x cuadrada por x cuadrada aquí sólo le resta a este término este término de acá y luego mi único término de primer grado de x está justo aquí por lo que es más 2 m x2 msx y luego finalmente más tenemos una cuadrada y luego de hecho vamos a tener una más de cuadrada por ahí así que esto va a ser esto va a ser más se cuadrada cuadrada más d cuadrada ahora para que esta ecuación solo tenga una solución déjame escribir esto va a ser igual a esto va a ser igual para que esto solo tenga una solución el discriminante de esta ecuación cuadrática y recuerda si yo cuando haga la ecuación cuadrática y esto es completamente indiferente por lo que menos b más o menos esto es la fórmula cuadrática la raíz cuadrada de btr cuadrada menos 4a sobre 2 sólo vamos a tener una solución si esta cosa de aquí si esta cosa de aquí si el discriminante de ahí es igual a cero entonces si ve cuadrada menos 4 hace es igual a 0 sólo tendrás esta solución menos b entre 2 y por lo que en esta situación para la línea tangente puede solo tener una solución una equis que satisfaga esta ecuación por lo que ve por lo que ve cuadrada menos 4 hace tiene que ser igual a 0 en la ecuación cuadrática estas son best as y 6 diferentes de las que estamos utilizando aquí por aquí por aquí nuestra be es esa de ahí el único coeficiente en el término de x y eso al cuadrado es 4 m cuadrada cuadrada y le vamos a restar a eso menos 4 es es todo esto de aquí y sólo para simplificar las cosas déjame hacer esto positivo y luego multiplicar esto por un signo negativo y vamos a invertir el signo entonces queda menos 4 pongo un más aquí x y ahora multiplico esto por menos 1 y ahora queda cuadrada sobre a cuadrada - m cuadrada y luego la c es este término de aquí este de aquí s cuadrada más cuadrada y esto va a ser igual a 0 si esta línea es tangente si sólo tenemos si solo tenemos una solución veamos la primera cosa que podemos hacer para simplificar esto es dividir ambos lados de la ecuación entre 4 y si hacemos eso esto se convierte en y quiero hacer eso en negro esto se convierte en 1 por lo que podemos ignorar eso y este se vuelve un 1 por lo que eso simplifica nuestra ecuación un buen tanto y ahora desarrollaremos la multiplicación de este segundo término así que tenemos b cuadradas sobre cuadrada porsche cuadrada eso es cuadrada por c cuadrada sobre a cuadrada y luego es de cuadradas sobre a cuadrada por b cuadrada entonces es más a la cuarta sobre a cuadrada y luego tienes m cuadrada negativa porsche cuadrada entonces déjame hago esto en otro color entonces tienes menos para la m cuadrada menos m cuadrada cuadrada y luego tienes menos m cuadrada por b cuadrada menos m cuadrada cuadrada y por supuesto que todo esto va a ser igual a cero y tenemos este m cuadrada se cuadrada aquí adelante m cuadrada cuadrada aquí y afortunadamente esto se cancela con esto y ahora que nos queda cada término es divisible entre b cuadrada así que dividamos cada término entre b cuadrada esto sólo se volverá un 1 esto será b al cuadrado y éste sólo será 1 y ahora multiplicamos todo por a cuadrada para deshacernos de las fracciones cuando multiplicamos todo por a cuadrada este término de aquí se vuelve se cuadrada cuadrada este término de aquí es sólo b cuadrada y luego y luego todo lo que nos queda es y tenemos esta - m cuadrada recuerda que estamos explicada por a cuadrada entonces es menos a cuadrada por m cuadrada es igual a cero o podemos sumar esto a ambos lados de la ecuación y tenemos se cuadrada más b cuadrada es igual a es igual es igual a cuadrada es igual a cuadrada m cuadrada y lo que es importante de esto es que ahora tenemos una relación muy simple si sabemos la línea si sabemos la línea si sabemos la ecuación de la línea de aquí si sabemos lo que me dice son tendremos una relación interesante para a ive si sabemos los valores de ahí b tendremos una relación interesante para la ecuación de la línea y tal vez si tuviéramos otras restricciones podríamos resolver para ellas pero pero vamos a tomar esto y usarlo en el siguiente problema de examen de ingreso que hagamos