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Álgebra (todo el contenido)
Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 11
Lección 3: Introducción a los exponentes racionalesEcuación exponencial con respuesta racional
Un ejemplo resuelto de volver a escribir un radical como un exponente. En este ejemplo, despejamos la incógnita en 3ᵃ = ⁵√(3²). Creado por Sal Khan.
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Si no entiendo sus ejercicios ni sus videos.... ¿que debería de hacer?(3 votos)
definitivamente voy a sufrir(3 votos)
¿Soy yo o no se explicó bien? :/(2 votos)
esta bien explicado otra cosa q no entiendan Se llama igualdad en ambas ecuaciones(2 votos)
Y que tal si elevo todo a la tercera potencia, me sale un resultado distinto el cual es: 1/3 y no 2/5(1 voto)
Veamos:
3^a = ⁵√(3^2)
3^a = 3^2/5
Elevo todo a la tercera potencia:
(3^a)^3 → 3^(a*3) → 3^3a= (3^2/5)3 → 3^(2/5*3) → 3^6/5
Entonces nos queda:
3^3a = 3^6/5
En este punto, nuestras bases son iguales, por lo que nuestros exponentes tambien deben serlo, así que:
3a = 6/5
Ese 3 lo paso a dividir al otro lado para despejar la a, y como una división de fracciones igual a una multiplicación solo que con el reciproco, entonces 6/5 * (reciproco de 3, que es 1/3):
a= 6/5*1/3
a=6/15
Simplifico la fracción:
a=2/5.
Así que el resultado es el mismo que el del video, es solo que no tiene mucho sentido elevar a la 3ra potencia porque te complicas más, elevar a la 5ta potencia cancela el indice de la raiz.
nota: Una propiedad de los radicales, es que pueden ser escritos como exponente fraccionarios, donde el radicando es la base, el indice del radical es el numerador y el exponente del radicando es el numerador, entonces en ⁵√(3^2), 3 es la base, 5 el denominador y 2 es el numerador, por lo que puede ser escrito como 3^2/5.(2 votos)
- y por cuando el 3a estaba elevado a la 5ta, no se multiplico el 3 también para que fueran 15, ahi ya no entendí(1 voto)
- Es por una propiedad de los exponentes que dice: (a^m)^n = a^(m*n).
Se multiplican los exponentes, sin afectar la base, luego el exponente de la base es el producto de los exponentes que fueron multiplicados antes.
En el caso de 3a, 3 es la base y "a" es el exponente, entonces si (3^a)^5 = 3^(a*5) = 3^5a. Puedes ver que solo los exponentes son multiplicados, la base queda igual.(1 voto)
- Y que tal si elevo todo a la tercera potencia, me sale un resultado distinto el cual es: 1/3 y no 2/5(1 voto)
- En lugar de elevar a la 5ta potencia, se podria haber convertido la raiz en un exponente fraccionario.
Es decir:
3^a = ⁵√(3^2)
3^a = 3^2/5
Y se puede aprovechar el hecho de que ambas bases son iguales por lo tanto sus exponentes tambien deben serlo:
a = 2/5.(1 voto) - bien y muy interesante pero paraque sirven entonces las leyes de los exponentes(0 votos)
Weno Weno VaMO a cALmarno Un POkitO(0 votos)
Transcripción del video
¿Qué tenemos aquí?
Tenemos 3 elevado a la potencia "a", y esto será igual a la raíz quinta de 3 al cuadrado. Entonces debemos resolver este misterio. ¿Quién es "a"? Ponle pausa al vídeo puedes intentarlo, observa que si... que si tienes una raíz quinta algo que tal vez se te ocurra hacer para deshacer esta raíz quinta, es elevarlo a la quinta potencia. Pero claro,
si elevas eso a la quinta potencia también debes, debes elevar el otro lado de la ecuación
a la quinta potencia, para que se mantenga la igualdad en la ecuación. Entonces hagamos eso, vamos a elevar ambos miembros de la ecuación a la quinta potencia, y el lado izquierdo de la de la ecuación.... Aquí debemos recordar las...
las propiedades de los exponentes. Tenemos entonces que 3 elevado a la "a" potencia
y eso elevado a la quinta potencia, es lo mismo que 3 a la "a", por 3 a la "a", por 3 a la "a", por 3 a la "a", por 3 a la "a"... Y ¿esto a qué es igual? Esto será igual a 3 elevado
a la "a", más "a", más "a", más "a", más "a", donde esto es igual a 3 elevado a la 5 por "a" potencia. Así que la propiedad de los exponentes aquí, nos dice que
si yo elevó una base a un exponente y eso lo elevó a otro exponente, es equivalente a elevar la base, al exponente que es el producto
de estos 2 exponentes, por lo tanto esto lo puedo escribir
de la siguiente manera, 3 elevado a la potencia 5 por "a"... 5 por "a"... y esto será igual... si yo tengo la raíz quinta
y la elevó a la quinta potencia, solo te va a quedar lo que tienes en el radical,
entonces esto es igual a 3 al cuadrado y ya queda un poco más claro esto
¿cierto? Entonces 3 elevado a la 5 por "a" debe ser igual... debe ser igual a 3 al cuadrado. Otra manera de pensar en esto,
tenemos la misma base, entonces este exponente debe ser igual a este exponente, y así ya podemos escribir que 5 por "a", debe ser igual a 2 y resolvemos esto. Entonces podemos dividir
ambos lados de la ecuación entre 5 nos queda entonces que "a" es igual a 2/5,
2 sobre 5, y este es un resultado interesante porque
lo lindo de este ejemplo, es que nos motiva a ver cómo definimos los exponentes fraccionarios ¿cierto? Así que vamos a sustituir esa "a" que acabamos
de encontrar, ya sabemos la respuesta. Resolvimos para "a", entonces tenemos 3 elevado a la 2/5...
lo cual voy a poner en color... en colores para que quede un poco más interesante... 3 elevado a la potencia 2/5, esto es igual...
esto es igual a la raíz quinta. Ahora nota que la raíz quinta,
aquí el denominador es la raíz, entonces es igual a la raíz quinta de 3 al cuadrado... 3 elevado al cuadrado. Así que si tomas esta base, el 3,
y lo elevas al cuadrado, pero después tomas la raíz quinta de eso, eso es lo mismo que elevarlo a la potencia de 2/5. Entonces nótalo, tomas este 3, lo elevas al cuadrado y tomas la raíz quinta de eso o podríamos usar esta propiedad, esto
esto se puede escribir como... como 3 al cuadrado,
esto es lo mismo que 3 al cuadrado y eso lo elevas a la potencia 1/5... esto elevado a la 1/5, vimos esa propiedad acá arriba ¿cierto? Puedes multiplicar estos 2 exponentes y obtienes 2/5, y eso es lo mismo que 3 al cuadrado
y tomar la raíz quinta de eso, acá también lo tenemos, 3 al cuadrado
y tomas la raíz quinta de eso.