Simplificar raíces de orden superior

hasta ahora nuestro estudio de los radicales ha consistido tan solo en la raíz cuadrada hemos visto que si escribo el signo radical como este y pongo un 9 dentro de él esto significa la raíz cuadrada principal de 9 la cual es 3 positivo o puedes verlo también como la raíz cuadrada positiva de 9 ahora lo que está implícito cuando lo escribimos así es que estoy tomando la raíz cuadrada esto también lo podría haber escrito de la siguiente manera el signo es radical y aquí un índice 2 que significa la raíz cuadrada la raíz cuadrada principal de 9 encuentra algo tal que si elevó ese algo al cuadrado obtengo 9 este signo radical no se aplica únicamente para la raíz cuadrada puedes cambiar el índice aquí para indicar con ese número el orden de la raíz que se está tomando por ejemplo si te preguntara cuál es esta raíz esta raíz que puedes imaginarte que se llama raíz cúbica o también la raíz de tercer orden de 27 cuales está bien esta es un número que si lo elevó a la tercera potencia obtengo 27 bueno el único número que si lo elevó a la tercera potencia obtengo 27 es igual a 33 por 3 por 3 3 por 3 por 3 es igual a 27 3 por 3 9 por 3 27 ahora hagamos un par bueno déjame hacer otro como estos supongamos que a 16 déjame hacerlo en otro color tenemos 16 y queremos extraer la raíz cuarta de 16 si no se te ocurre inmediatamente cuál es la raíz cuarta de 16 siempre podemos extraer los factores primos de 16 veámoslo 16 lo podemos escribir como 2 por 88 como 2 por 4 y 4 como 2 por 2 es decir la raíz cuarta de 16 en la raíz cuarta de dos por dos por dos hemos obtenido 2 multiplicado por sí mismo cuatro veces es decir dos a la cuarta y la raíz cuarta de dos a la cuarta es simplemente dos podemos decir que esto es algo así como la cuarta raíz principal pues si estos dos es fueran negativos también obtendríamos el mismo resultado esto es similar a lo que pasa con las raíces cuadradas así como se tienen múltiples raíces cuadradas también se tienen múltiples raíces cuartas pero el signo es radical indica la raíz principal ahora habiendo visto esto hemos simplificado las típicas raíces cuadradas anteriormente ahora espero que podamos simplificar raíces de mayor potencia probemos con un par de ejemplos supongamos que quiero simplificar la raíz quinta de 96 y como mencioné anteriormente lo que hay que hacer es factorizar 96-96 es igual a 2 x 48 lo cual a su vez es 2 por 24 lo cual a su vez es 2 por 12 lo cual a su vez es 2 por 6 lo cual finalmente es dos por tres así es que esto es igual a la raíz quinta de 2 por 2 por 2 por 2 por 2 2 por 2 por 2 por dos por dos y por tres por tres otra manera de ver esto es considerarlo como una potencia racional con una potencia fraccionada ya hemos hablado de esto es decir esto lo podemos escribir de la siguiente manera 2 por 2 por 2 por 2 por 2 por 3 elevado a la potencia un quinto déjame poner eso claramente por acá sacar la raíz enésima de un número es equivalente a elevar ese número a la potencia 1 entre en estas dos expresiones aquí son equivalentes así que sí aquí estás tomando esto a la potencia un quinto este lo mismo que 2 por 2 por 2 por 2 por 2 elevado al un quinto por 3 a la un quinto ahora que tenemos aquí aquí tenemos dos que se multiplica asimismo 5 veces 2 a la quinta elevado al un quinto se multiplican los exponentes por lo cual esto es igual a 2 así es que esto de aquí es igual a 2 y esto aquí es 3 a la potencia un quinto dos por tres a la potencia un quinto así es como simplificamos la raíz quinta de 96 es lo más que se puede simplificar o si quisiéramos escribirlo en su forma radical esto lo podemos escribir como 2 por la raíz quinta de 3 así tal cual hagamos otro hagamos otro ejemplo vamos a incluir ahora variables supongamos que queremos simplificar la raíz sexta de 64 x al octavo resolvamos primero para 64 64 lo podemos escribir como 2 por 32 lo cual es 2 por 16 lo cual es 2 por 8 lo cual es 2 x 4 que es 2 por 2 es decir tenemos 1 2 3 4 5 6 2 a la sexta por lo que esto es igual a la raíz sexta de 2 a la sexta 64 estos a la sexta por equis a la octava potencia ahora la raíz sexta de 2 a la sexta bueno eso es inmediato eso es igual la raíz sexta de dos a las ex texto que tenemos aquí es igual a 2 directamente que multiplica a que multiplica a la raíz sexta de x al octava la raíz sexta de x a la octava potencia y cómo podemos simplificar esto bueno esto es lo mismo que estoy aquí lo mismo que x a la sexta por x al cuadrado tenemos la misma base entonces se suman los exponentes 6 más 2 es igual a 8 por lo que esto es igual a 2 por la raíz sexta de x a la sexta por x al cuadrado ahora la raíz sexta de quizá la sexta esto de aquí la raíz sexta de quizá la sexta simplemente x por lo que esto es 2 por x que multiplica a la raíz sexta de x cuadrada ahora esto lo podemos simplificar aún más si nos fijamos en el radical en esta expresión del radical raíz sexta de x cuadrada es equivalente a x cuadrada elevada a la un sexto esto es exactamente lo mismo y si recordamos las propiedades de los exponentes sabemos que aquí multiplican los exponentes por lo cual tendríamos x elevado a la 2 por un sexto vamos a escribirlo así tal cual x a la 2 por un sexto y esto va a ser igual a bueno para que no se me olvide deja de bajar el 2x arrastramos el 2x de arriba así que esto es igual a 2x que ya hemos bajado de arriba que multiplica a x a la 2 por un sexto es x a la dos sextos o si simplificamos el dos sextos este lo mismo que 2x por equis a la 2 sextos en su mínima expresión esto es x elevado a la potencia un tercio o si lo escribimos en su forma radical esto es igual a 2 x 2 x que multiplica a la raíz cúbica de x la otra manera de hacer esto es retomando lo desde acá arriba esto que tenemos aquí es equivalente vamos a ignorar esto que hicimos aquí previamente esto equivale a 2 porque tenemos aquí x a la octava elevado a la un sexto la raíz sexta de x a la octava es x a la octava elevada a la un sexto y esto que es igual a dos por equis elevado a la ocho sextos dos por equis elevada a la ocho sextos simplificamos ocho sextos para tener dos por equis elevado a la cuatro tercios y esto que tenemos aquí es equivalente a lo que tenemos aquí porque es eso bueno porque aquí tenemos dos por equis a la potencia 1 x x sale un tercio si sumamos los exponentes uno más un tercio obtenemos cuatro tercios espero que te haya sido interesante este pequeño tutorial sobre raíces de orden superior creo que es muy útil descomponer en factores primos y darte cuenta de que si estás buscando una raíz sexta tienes que tener un factor primo que se repite por lo menos seis veces en fin espero que hayas encontrado esto más o menos útil