Ejemplo resuelto: racionalizar el denominador

este problema nos dice racionalista y simplifica 16 más 2 x al cuadrado entre raíz de 8 y como suele suceder en matemáticas hay varias formas de resolver este problema podríamos simplificar un poquito después racionalizar y luego simplificar un poco más o bien racionalizar de entrada y después simplificar vamos a hacerlo de las dos formas pero antes para que estemos en el mismo canal déjame decirte que racionalizar quiere decir que no queremos que aparezcan raíces cuadradas en el denominado vale bueno entonces voy a hacer la primera solución donde primero simplificó un poco y para hacer esta simplificación voy a utilizar que raíz de 8 es igual a raíz de 4 por 2 y utilizando propiedades de los radicales esto es igual a raíz de 4 por raíz de 2 de modo que la expresión nos queda igual a 16 más 2x al cuadrado dividido entre raíz de 4 que es 2 x raíz de 2 y observa ahora el numerador y el denominador son divisibles entre 2 tenemos 16 y dos así que podemos dividir entre dos arriba y abajo y aquí nos queda 8 16 entre 28 aquí nos queda 12 entre 2 es uno y aquí 2 entre 2 también nos queda uno bueno déjame reescribir esta expresión aquí abajo entonces la expresión original es igual a 88 más x al cuadrado dividido entre raíz de 2 va entonces ahora sí tenemos que racionalizar hay que desaparecer este raíz de 2 del denominador y para eso vamos a multiplicar el numerador y el denominador por raíz de 2 es decir vamos a multiplicar arriba por raíz de 2 y abajo también que nos queda si hacemos esto bueno pues nos queda 8 x raíz de 28 por raíz de 2 + raíz de 2 por equis cuadrada raíz de 2 por equis cuadrada y eso dividido entre raíz de dos por raíz de 2 que es igual a 2 vale bueno y esto de aquí ya que es igual aquí tengo podríamos dejarlo así esto ya se ve suficientemente simplificado pero partiendo la fracción sumandos nos queda 8 entre 2 raíz de 2 o sea 4 raíz de 2 4 raíz de 2 + raíz de 2 entre 2 entre 2 por x al cuadrado bueno cualquiera de estas dos expresiones es válida ya depende de tu gusto decir cuál de éstas está más simplificada pero bueno te decía que hay otra forma de resolver este problema que consiste en racionalizar de entrada vamos a hacer eso con color azul entonces voy a copiar aquí la expresión 16 + 2 x al cuadrado dividido entre raíz de 8 entre raíz de 8 y lo que vamos a hacer es multiplicar el numerador y el denominador por raíz de 8 entonces aquí sería x raíz de 8 entre raíz de 8 vamos a ver que nos queda a ver 16 x raíz de 8 es 16 raíz de 8 16 raíz de 8 ya eso tenemos que sumar 2 raíz de 8 por equis cuadrada 2 raíz de 8 por equis cuadrada y en el denominador nos queda raíz de 8 por raíz de 8 que es igual a 8 una vez más el numerador y el denominador son ambos divisibles entre 2 entonces podemos simplificar un poco este 16 se puede hacer 18 este 8 un 4 y éste 2 1 1 y entonces esto nos queda igual a déjame déjame copiarlo con otro color es igual a 8 raíz de 8 más este ya si son 1 entonces es raíz de 8 x al cuadrado dividido entre 4 y bueno en realidad está ahí está todavía no se parecen pero lo que sucede es que aún no hemos simplificado este raíz de 8 vale entonces si lo simplificamos poniéndolo así como 2 raíz de dos aquí nos quedaría 2 por raíz de dos y nos quedaría 2 por raíz de 2 raíz de 2 una vez más el numerador y el denominador son divisibles entre 2 entonces este 2 lo podemos cancelar este donde podemos cancelar y este 4 se hace 2 de modo que nos queda 8 por raíz de 2 lo voy a poner en naranja nos queda 8 x raíz de dos más raíz de 2 x x al cuadrado raíz de 2 x x al cuadrado y el denominador se simplificó a 2 entonces después de hacer todas las simplificaciones vemos que esta expresión y esta de acá esta de acá son iguales vale entonces obtenemos la misma respuesta