La constante 𝑒 y el interés compuesto

imaginemos un escenario en donde tú necesitas desesperadamente un peso así que vienes conmigo tu banquero de confianza y me dices oye por favor previsto un peso yo tengo vale te presto un peso le prestes un peso y me lo tienes que pagar en un año y como soy muy buena onda te lo voy a cobrar a un interés vamos a poner aquí un año y te lo voy a cobrar con un interés de el 100% es decir después de un año tú me vas a tener que pagar el peso el principal que yo te preste un peso más un peso de interés porque esto estoy cobrando el 100% interés en un año entonces me pagas un peso más un peso que por supuesto ustedes que son muy buenos con matemáticas dicen son dos pesos bien yo te digo bueno pero un año es mucho tiempo que tal que tengo el dinero antes entonces yo tengo pues no hay ningún problema te puedo prestar el mismo peso te voy a prestar un peso de nuevo y te lo voy a prestar por seis meses seis meses más o menos aquí está la mitad seis meses y durante esos seis meses lo que voy a hacer es te voy a cobrar la mitad del interés te voy a cobrar el 50% interés a lo largo de esos seis meses y entonces cuánto me tendrías que pagar me tendrías que pagar el principal que es un peso más el interés por este tiempo 50 por ciento a lo largo de los seis meses 50 por ciento de 1 es 50 centavos así que me tendrías que pagar uno más cincuenta centavos que es uno con cincuenta centavos mejor la escribo por acá un peso con 50 centavos 1 con 50 centavos bien pero qué pasa si no tengo el dinero en ese momento qué pasa si pasan los 6 meses y no te puedo pagar pues no te preocupes hay un sistema para eso lo que vamos a hacer es vamos a hacer de cuenta que te presto ahora el dinero que me tienes que pagar 1 con 50 y te lo presto por otros 6 meses otros 6 meses y de nuevo te lo presto con un interés del 50 por ciento cuánto me tienes que pagar ahora pues me tienes que pagar un peso con 50 centavos que sería el nuevo principal aunque eso con 50 centavos más los intereses a lo largo de este periodo es decir 50% de un peso con 50 centavos es 75 centavos y esto cuánto me da pues esto me da que en total me tendrías que pagar 2 pesos con 25 centavos lo cual ya no te gustó tanto porque estás viendo que antes sólo me tenías que pagar 2 piensas y ahora me tienes que pagar 2 con 25 pero bueno vamos a pensar en esto de otro modo que me tengas que pagar 50% interés equivale a tener que multiplicar por 1.5 por 1.5 el 1 viene de el capital inicial y el punto 5 representa este 50% de intereses así que 1 por 1.5 me da este 1.5 y de nuevo por acá tengo que multiplicar por 1.5 para el segundo periodo así que 2.25 en realidad es lo mismo esto es lo mismo que tomar el principal inicial este peso y multiplicarlo por mejor es otro color multiplicarlo por 1.5 dos veces en este caso en este caso multiplicar algo por o tomar el 100% interés equivale a multiplicar por 2 porque voy a tener que pagar el 100% así que es dos veces la cantidad inicial de modo que este 2 también lo podría escribir común mi principal inicial que es 1 x 2 a la potencia 1 2 a la 1 y eso me da este 2 incluso otro modo de pensar en esto y de este modo lo que no se relaciona con el interés es simplemente decir bueno pues esto es 1 x uno que es simplemente me tienes que pagar el uno que te prestes más la parte que tiene que ver con el interés que es el 100 interés dividido entre el periodo en este caso es un año solo hay un periodo elevado a la potencia bien es más vamos a hacerlo así vamos a poner el periodo entre 1 elevado a la potencia 1 y en este caso como sería pues sería 1 el principal inicial por 1 siempre voy a tener este 1 + 100% 100% recuerden 100% simplemente es 1 dividido entre los periodos en este caso tengo dos periodos así que entre 2 elevado elevado a la potencia 2 miren qué interesante y podemos continuar este juego qué pasaría qué pasaría si ahora te presto un peso pero te lo presto en doce periodos de lo presto por doce meses pues entonces sería el primer mes un mes en el primer mes y te voy a cobrar qué porcentaje intereses pues te voy a cobrar 100 por ciento 100% entre 12 100 entre 12 es a 8 con un tercio 8 con un tercio por ciento de interés así que esto equivale a multiplicar por 1.083 periódico así que después de un mes me vas a tener que pagar vas a tener que pagar un peso con 0 punto 83 con 8 un peso con 8 centavos y unas cifras adicionales ok eso es el primer mes y luego el segundo mes pasa otro mes y ahora tengo que volver a multiplicar por 1.0 83 y lo que voy a obtener es 1.0 83 periódico al cuadrado porque es el segundo mes y así continuamos así continuamos por otros 10 meses por otros 10 meses déjenme lo escribo así y al final del día me van a tener me vas a tener que pagar vas a tener que pagar un monto punto 083 periódico elevado a que potencia el primer mes era la 1 y el segundo mes fue la 2 así que el doceavo mes va a ser a las 12 o escrito de otro modo esto es lo mismo que mi principal inicial de 1 por uno más el 100 por ciento el 100 por ciento dividido entre 12 periodos al elevado todo eso no tengo que componer consigo mismo por 12 periodos así que por 12 meses elevado a la potencia 12 y cuánto es esto cuánto es esto pues sacamos nuestra calculadora y bueno esto es no voy a anotar el 1 es uno más el 100% que simplemente 1 dividido entre 12 elevado a la potencia 12 es 2.63 2.63 algo voy a redondear simplemente ok esto se ve interesante este número parece que no está creciendo a lo loco sino que se acerca algo vamos a ver ustedes como son intrépidos matemáticos se preguntan qué pasa si sigo jugando de este modo y ahora te pido que me prestes un peso en un periodo de un día así que vamos a hacer esto por 365 365 periodos así que vamos a hacerlo en intervalos de un día y el interés va a ser del 100% dividido entre 365 así que cuánto va a ser esto no tengo ni idea va a ser un numero estratosférico yo creo veamos al final esto va a ser igual veamos nuestra fórmula 1 x uno más el 100% dividido entre 365 periodos perdón estamos usando colores 365 periodos elevado a la potencia de 365 y y que el número será eso parece que va a ser un número gigantesco y casi podríamos apostar te va a crecer mucho pero recuerden 100 entre 365 va a ser un número relativamente pequeño así que uno más eso va a estar bastante cerca de 1 y 1 elevado a cualquier potencia es 1 así que quizás no sea algo tan descabellado a ver qué dice la calculadora vamos a ver uno más uno entre 365 llevado a la potencia 365 es dos puntos 71 45 67 todos los puntos 71 45 algo dos puntos 71 45 así que este número no está creciendo tan rápido como uno esperaría parece que nos estamos acercando un valor definido a un número místico mágico no me gusta decir místico pero un número especial y en verdad es lo que está pasando cada vez nos estamos acercando al quizás más impresionante de todos los números en matemáticas y ese número se llama y es más aquí su calculadora tiene el botón de y vamos a poner lo que yo voy a elevar al 1 2 puntos 71 82 ven como cada vez nos estamos acercando más a este número que es tan especial en matemáticas ese número es el límite al que nos estamos aproximando y los invito a poner cada vez números más grandes aquí poner uno más uno entre un número gigantesco y elevarlo a la potencia de ese número y van a ver como eso comienza a acercarse a este número