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Sumar y restar funciones

Mira cómo podemos sumar o restar dos funciones para crear una nueva función.
Así como podemos sumar y restar números, podemos sumar y restar funciones. Por ejemplo, si tuviéramos las funciones f y g, podríamos crear dos nuevas funciones: f, plus, g y f, minus, g.

Sumar dos funciones

Ejemplo

Observemos un ejemplo para ver cómo funciona esto.
Dadas f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1 y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x, plus, 5, encuentra left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis.

Solución

La parte más difícil de combinar funciones es entender la notación. ¿Qué significa left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis?
Bueno, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis significa simplemente encontrar la suma de f, left parenthesis, x, right parenthesis y g, left parenthesis, x, right parenthesis. Matemáticamente, quiere decir que left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
Ahora el problema nos es familiar.
(f+g)(x)=f(x)+g(x)                             Define.=(x+1)+(x22x+5)        Sustituye.=x+1+x22x+5                Elimina pareˊntesis.=x2x+6                                Combina teˊrminos similares.\begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x)+g(x) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Define.}}}\\\\ &= \left(x+1\right)+\left(x^2-2x+5\right) ~~~~~~~~\small{\gray{\text{Sustituye.}}}\\\\ &= x+1+x^2-2x+5~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Elimina paréntesis.}}}\\\\ &=x^2-x+6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Combina términos similares.}}} \end{aligned}

También podemos verlo gráficamente:

Las imágenes de abajo muestran las gráficas de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, y y, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis.
De la primera gráfica, podemos ver que f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 y g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #11accd, 5, end color #11accd; de la segunda gráfica, que left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
Así f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 2, right parenthesis, puesto que start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 5, end color #11accd, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
Ahora inténtalo tú. Convéncete de que f, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis.
Evalúa cada expresión.
f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
g, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Intentemos algunos problemas de práctica.

En los problemas 1 y 2, sean a, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, minus, 5, x, plus, 2 y b, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 8, x, minus, 10.

Problema 1

Encuentra left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis.

Problema 2

Evalúa left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Restar dos funciones

Restar dos funciones funciona de manera similar. He aquí un ejemplo:

Ejemplo

p, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 2, t, minus, 1 y q, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, t, squared, minus, 4, t, minus, 1.
Determinemos left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Solución

De nuevo, lo más complicado es entender la notación, pero, después de haber hecho el ejemplo de la suma, ¡left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis significa exactamente lo que piensas!
Por definición, left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, q, left parenthesis, t, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, t, right parenthesis. Ahora podemos resolver el problema.
=(qp)(t)=q(t)p(t)Define.=(t24t1)(2t1)Sustituye.=t24t12t+1Distribuye el signo negativo.=t26tCombina teˊrminos semejantes.\begin{aligned} &\phantom{=}(q-p)(t) \\\\ &=q(t)-p(t)\quad\small{\gray{\text{Define.}}} \\\\ &= (-t^2-4t-1)-(2t-1)\quad\small{\gray{\text{Sustituye.}}}\\\\ &=-t^2-4t-1-2t+1\quad\small{\gray{\text{Distribuye el signo negativo.}}}\\\\ &=-t^2-6t \quad\small{\gray{\text{Combina términos semejantes.}}}\end{aligned}
Así que left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, t, squared, minus, 6, t, point

Intentemos algunos problemas de práctica.

Problema 3

j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, n, cubed, minus, n, squared, plus, 8
k, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 8, n, squared, plus, 3, n, minus, 5
Encuentra left parenthesis, j, minus, k, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis.

Problema 4

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, squared, minus, 7, x, plus, 2
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 5
Evalúa left parenthesis, h, minus, g, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Una aplicación

Una universidad dice que el número de hombres, H, y el número de mujeres, M, que se han graduado t años desde 1980, pueden ser modelados por las funciones H, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 526, minus, t y M, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 474, plus, 2, t, respectivamente.
Sea N el número total de estudiantes que se han graduado en esa universidad, t años después de 1980.
Escribe una expresión para N, left parenthesis, t, right parenthesis.
N, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

Problema de desafío

Las gráficas de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis y y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis se muestran en la cuadrícula de abajo.
¿Cuál es la gráfica de y, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis?
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