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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 7

Lección 14: Combinar funciones
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Funciones
Combinar funciones
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Introducción a la combinación de funciones

Google Classroom
Familiarízate con la idea de que podemos sumar, restar, multiplicar, o dividir dos funciones, para obtener una nueva función.
Así como podemos sumar, restar, multiplicar y dividir números, podemos también sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.

La suma de dos funciones

Parte 1: crear una nueva función al sumar dos funciones

Vamos a sumar f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1 y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x para hacer una nueva función.
Llamemos a esta nueva función, h. Entonces, tenemos:
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 1

Parte 2: evaluar una función combinada

También podemos evaluar funciones combinadas para valores de entrada particulares. Evaluemos la función h para x, equals, 2. A continuación hay dos maneras de hacer esto.
Método 1: sustituye x, equals, 2 en la función combinada h.
h(x)=3x+1h(2)=3(2)+1=7\begin{aligned}h(x)&=3x+1\\\\ h(2)&=3(2)+1\\\\ &=\greenD{7} \end{aligned}
Método 2: Encuentra f, left parenthesis, 2, right parenthesis y g, left parenthesis, 2, right parenthesis y suma los resultados.
Ya que h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, podemos determinar h, left parenthesis, 2, right parenthesis al calcular f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis.
Primero, encontremos f, left parenthesis, 2, right parenthesis:
f(x)=x+1f(2)=2+1=3\begin{aligned}f(x)&= {x + 1}\\\\ f(2)&=2+1 \\\\ &=3\end{aligned}
Ahora encontremos g, left parenthesis, 2, right parenthesis:
g(x)=2xg(2)=2⋅2=4\begin{aligned}g(x)&={2x}\\\\ g(2)&=2\cdot 2 \\\\ &=4\end{aligned}
Así que f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 3, plus, 4, equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54.
Observa que ambos métodos, sustituir x, equals, 2 directamente en la función h, y calcular f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis, ¡nos dan la misma respuesta!

Intentemos ahora algunos problemas de práctica.

En los problemas 1 y 2, sean f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 2 y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, minus, 3.

Problema 1

Encuentra f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis.

Problema 2

Evalúa f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Una conexión gráfica

También podemos entender qué significa sumar dos funciones mirando sus gráficas.
Las gráficas de y, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis y y, equals, n, left parenthesis, x, right parenthesis se muestran abajo. En la primera, observa que m, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 2; en la segunda, que n, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 5.
Sea p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, n, left parenthesis, x, right parenthesis. Mira ahora la gráfica de y, equals, p, left parenthesis, x, right parenthesis, y observa que p, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, start color #7854ab, 7, end color #7854ab.
Observando las tres gráficas, convéncete de que p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, n, left parenthesis, x, right parenthesis para cada valor de x.

¡Practiquemos!

Problema 3

Las gráficas de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis y y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis se muestran abajo.
¿Cuál es la mejor aproximación de f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 3, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

Otras maneras de combinar funciones

En todos los ejemplos que hemos estudiado hasta ahora, sumando dos funciones creamos una nueva. Pero, ¡también podemos crear nuevas funciones al restar, multiplicar y dividir dos funciones!
Por ejemplo, si f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 3 y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, minus, 2, podemos no solo encontrar la suma, sino también...
...la diferencia.
f(x)−g(x)=(x+3)−(x−2)       Sustituye.=x+3−x+2             Distribuye el signo negativo.=5                                  Combina teˊrminos semejantes.\begin{aligned}f(x)-g(x)&=(x+3)-(x-2)~~~~~~~\small{\gray{\text{Sustituye.}}}\\\\ &=x+3-x+2~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Distribuye el signo negativo.}}}\\\\ &=5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Combina términos semejantes.}}}\end{aligned}
...el producto.
f(x)⋅g(x)=(x+3)(x−2)            Sustituye.=x2−2x+3x−6        Distribuye.=x2+x−6                   Combina teˊrminos semejantes.\begin{aligned}f(x)\cdot g(x)&=(x+3)(x-2)~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Sustituye.}}}\\\\ &=x^2-2x+3x-6~~~~~~~~\small{\gray{\text{Distribuye.}}}\\\\ &=x^2+x-6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Combina términos semejantes.}}}\end{aligned}
...y el cociente.
f(x)÷g(x)=f(x)g(x)=(x+3)(x−2)                     Sustituye.\begin{aligned}f(x)\div g(x)&=\dfrac{f(x)}{g(x)} \\\\ &=\dfrac{(x+3)}{(x-2)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Sustituye.}}} \end{aligned}
Al hacerlo, ¡hemos creado tres nuevas funciones!

Problema de desafío

p, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, plus, 2
q, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 1
r, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t
Evalúa p, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, q, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, r, left parenthesis, 3, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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