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Multiplicar y dividir funciones

Mira cómo podemos multiplicar o dividir dos funciones para crear una nueva función.
Así como podemos multiplicar y dividir números, podemos multiplicar y dividir funciones. Por ejemplo, si tenemos las funciones f y g, podemos crear dos nuevas funciones: f, dot, g y start fraction, f, divided by, g, end fraction .

Multiplicar dos funciones

Ejemplo

Hagamos un ejemplo para ver cómo funciona la multiplicación de funciones.
Dadas f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 3 y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1, encuentra left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis.

Solución

La parte más difícil de combinar funciones es entender la notación. ¿Qué significa left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis?
Bueno, left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis significa que simplemente debemos determinar el producto de f, left parenthesis, x, right parenthesis y g, left parenthesis, x, right parenthesis. Matemáticamente, esto quiere decir que left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
Ahora el problema nos es familiar.
(fg)(x)=f(x)g(x)Define.=(2x3)(x+1)Sustituye.=2x2+2x3x3Distribuye.=2x2x3Combina teˊrminos semejantes.\begin{aligned} (f\cdot g)(x) &= f(x)\cdot g(x)&\gray{\text{Define.}} \\\\ &= \left(2x-3\right)\cdot\left(x+1\right) &\gray{\text{Sustituye.}} \\\\ &= 2x^2+2x-3x-3&\gray{\text{Distribuye.}} \\\\ &=2x^2-x-3&\gray{\text{Combina términos semejantes.}} \end{aligned}
Nota: Simplificamos el resultado para obtener una expresión más limpia, pero esto no es necesario.

Intentemos algunos problemas de práctica.

Problema 1
c(y)=3y4d(y)=32y\begin{aligned} &c(y)=3y-4 \\\\ &d(y)=3-2y \end{aligned}
Encuentra left parenthesis, c, dot, d, right parenthesis, left parenthesis, y, right parenthesis.

Problema 2
m(x)=x23xn(x)=x5\begin{aligned} &m(x)=x^2-3x \\\\ &n(x)=x-5 \end{aligned}
Evalúa left parenthesis, m, dot, n, right parenthesis, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Dividir dos funciones

Dividir dos funciones se logra de manera similar. Aquí hay un ejemplo.

Ejemplo

h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, n, minus, 1 y j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, n, plus, 3.
Encontremos left parenthesis, start fraction, j, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis.

Solución

Por definición, left parenthesis, start fraction, j, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start fraction, j, left parenthesis, n, right parenthesis, divided by, h, left parenthesis, n, right parenthesis, end fraction.
Ahora podemos resolver el problema.
(jh)(n)=j(n)h(n)Define.=n+32n1Sustituye. \begin{aligned} \left(\dfrac{j}{h}\right)(n)&=\dfrac{j(n)}{h(n)}&\gray{\text{Define.}} \\\\ &= \dfrac{n+3}{2n-1}&\gray{\text{Sustituye. }} \end{aligned}
Dos observaciones importantes sobre esta función:
  1. Esta función está simplificada en su forma actual.
  2. El valor de entrada n, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction no es válido para esta función. Esto es porque 2, n, minus, 1, equals, 0 en n, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, y la división entre 0 no está definida.

Intentemos algunos problemas de práctica

Problema 3
g(t)=t24h(t)=t+8\begin{aligned} &g(t)=t^2-4 \\\\ &h(t)=t+8 \end{aligned}
Encuentra left parenthesis, start fraction, g, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Problema 4
p(r)=5r2q(r)=r+2\begin{aligned} &p(r)=5r-2 \\\\ &q(r)=r+2 \end{aligned}
Evalúa left parenthesis, start fraction, p, divided by, q, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 4, right parenthesis.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 5
f(x)=x+4g(x)=x3\begin{aligned} &f(x)=x+4 \\\\ &g(x)=x-3 \end{aligned}
¿Para cuál valor de x la función left parenthesis, start fraction, f, divided by, g, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis está indefinida?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Una aplicación

La distancia y el tiempo que Jordan corre cada día depende del número de horas, h, que trabaja. La distancia, D en millas, y el tiempo, T en minutos, que ella corre, están dados por las funciones D, left parenthesis, h, right parenthesis, equals, minus, 0, point, 5, h, plus, 8, point, 5 y T, left parenthesis, h, right parenthesis, equals, minus, 6, h, plus, 90, respectivamente.
Sea S una función que represente la velocidad promedio a la que Jordan corre en un día en el que trabaja h horas.
Problema 6
¿Cuál de las siguientes expresiones define correctamente a la función S?
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Problema de desafío
Las gráficas de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis y y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis se muestran en la cuadrícula de abajo.
¿Cuál gráfica representa a y, equals, left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis?
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