Dividir funciones

nos dan las funciones f x2 x cuadrada más 15 x 8 gtx igual a x al cuadrado más 10 x 16 y nos piden encontrar efe sobre g de x o bien encontrar efe / g de x y seguramente por la forma en la cual lo estoy diciendo ya te has de estar imaginando qué quiere decir esta función en efecto la función efe / g de x efe / g de x por definición es la función que aquí evaluada en x es igual a efe de x entre g de x muy bien con esto en mente ya podemos sustituir f&g para ver que obtenemos efe lo voy a poner en color verde entonces en el numerador nos quedaría 2x cuadrada más 15 x menos 8 esta expresión de acá y en el denominador nos quedaría g de x y gx es igual a x al cuadrado más 10 x más 16 muy bien podríamos dejar esta expresión así sin embargo vamos a simplificar la un poquito con un poco de suerte el numerador y el denominador comparten factores y entonces se puede ver pues un poco más bonita vale bueno con esto en mente dejar de intentar factorizar el numerador o sea 2x cuadrada 2x cuadrada más 15 x menos 8 es una expresión de grado 2 una expresión cuadrática podríamos utilizar la fórmula cuadrática pero déjame intentar factorizar la con el método de agrupamiento es decir vamos a intentar encontrar dos números que multiplicados nos den 2 x menos 8 es decir que multiplicados nos den menos 16 y que sumados nos den 15 que nos en 15 estamos haciendo esto porque el coeficiente principal no es 1 entonces pues por eso no basta con que el producto sea menos 8 vale te tiene que ser menos 16 entonces qué números pueden funcionar pues saber uno tiene que ser positivo y otro negativo para que el producto sea negativo y uno tiene que ser más grande que 15 y otro más pequeño que 15 entonces con un poco de suerte le pegamos y segundo el 16 y el menos 1 funciona si 16 x menos 1 es menos 16 16 menos uno es 15 excelente entonces la idea de factorizar por agrupamiento es que ahora este 15 lo podemos partir en 16 x menos x déjame hacer esto nos quedaría 2x cuadrada 2x cuadrada más 16 x menos x menos 8 muy bien y ahora el chiste es reconocer un factor común de estos dos términos y de estos dos términos entonces vamos a sacar de estos dos términos de los primeros 2 1 2 x 2x que nos quedaría adentro aquí nos quedaría x y aquí nos quedaría más 8 si hacemos 2x por x 8 regresamos a esta expresión y de modo similar estos dos términos les podemos actualizar un -1 podemos hacer menos uno y aquí hay que multiplicar multiplicamos una vez más por x más 8 muy bien de hecho justo este es el punto de factorizar por agrupamiento que ahora tenemos un x + 8 y otro x + 8 que utilizando la propiedad distributiva pero al revés podemos actualizar de la siguiente manera como 2x menos 12 x menos 1 x x más 8 excelente x x8 entonces con esto ya podemos factorizar el numerador nos queda deja lo pongo con el color verde nos queda 2x menos 1 x x más 8 ok y ahora eso lo tenemos que dividir entre el denominador y el denominador también es una expresión cuadrática podemos factorizar la col con la fórmula cuadrática pero como esta si es esta expresión si tiene coeficiente principal 1 entonces vas a encontrar dos números que multiplicados nos den 16 y que sumados nos den 10 entonces pues qué números son esos 8 por 12 16 8 + 2 son 10 entonces podemos poner aquí x 2 x x + 8 y esto es tan fantástico nada más déjame ponerlo en el color morado entonces esto es x 2 x x + 8 y te digo que está fantástico porque arriba y abajo apareció este x + 8 que ahora podemos cancelar entonces la idea es que éste este los vamos a cancelar este con este pero ojo hay que tener mucho cuidado para de veras cancelarlo debemos de cuidar que x sea distinto de menos 8x no sea menos 8 vale si x es igual a menos 8 entonces estamos dividiendo entre 0 y esta expresión no está definida si los cancelamos así sin tener cuidado aquí obtendríamos 2x menos 1 y aquí dividiríamos entre x más 2 y si no ponemos esta restricción de que x sea distinto de menos 8 esta función no puede ser la misma que ésta porque ésta no está definida en menos 8 pero está así vale entonces hay que cuidar eso entonces ya nada más para acabar déjame reescribir la expresión entonces lo que obtuvimos es que efe entre g de x la función efe / g evaluada en el punto x es igual a 2 x menos uno / x 2 x 2 coma con la condición de que x sea distinto de menos 8 porque si x porque si no le pedimos esta condición de acá entonces estas funciones no pueden ser iguales porque la de la izquierda no está definida en menos 8 y la de la derecha sí bueno hasta aquí le dejo a este ejercicio nos vemos hasta la próxima