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Comparar funciones: características en común

A Sal se le da la fórmula de una función y la gráfica de otra; y él determina las características en común que ambas funciones tienen. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

qué características son compartidas por fx eje x selecciona todas las que apliquen nos dan f x que es el polinomio x al cubo menos x y nos dan glx definida esencialmente por esta gráfica de aquí y nos piden decir qué características comparten así que nos dan estas opciones veamos ambas son impares bueno para empezar que x podemos notar luego luego que no es impar porque todas las funciones impares tienen que pasar por el origen y que x no pasa por el origen pero vamos a recordar brevemente qué significa que una función se impar recordemos que el x es impar sí sólos y para todas x gx es igual a menos g de menos x así que tomemos los dos valores aquí que les parece 3 entonces en 3 la función g toma el valor 4 es igual a 4 en firme lo noto de 3 es igual a 4 si la función fuera impar entonces g de menos 3 debería ser menos 4 simplemente pasando al menos de este lado de la expresión pero cuántos g de menos 3 g de menos 3 aquí lo tengo es cero y de menos 3 fue 04 no es lo mismo que el negativo de 0 así que esta función no es impar por lo tanto esta no puede ser porque no es impar tienen un máximo relativo en el mismo valor de x pues pensemos que significa que tengan un máximo relativo significa que hay un valor que es mayor a todos los valores que están cercanos a la función por ejemplo si la gráfica fuera algo así quizás entonces aquí tendríamos un máximo relativo porque este número la función toma un valor más grande que cualquier valor de los que tomás cerca de este punto así que en este caso de x es una línea recta y no tiene un máximo relativo por lo tanto esta opción tampoco puede ser veamos tienen el mismo comportamiento en los extremos esto es interesante que significa que tengan el mismo comportamiento en los extremos pues significa que actúan del mismo modo cuando x se hace o extremadamente grande o extremadamente pequeño vamos a ver primero empecemos con fx x se hace muy grande entonces x al cubo es mucho más grande que x por lo tanto este es el término que domina y entonces f x tiende a infinito porque este número se va hacer cada vez más y más y más grande y se hace más grande muchísimo más rápido que la x solita cuando cuando x tiende a infinito y qué pasa cuando aquí se hace muy pequeña veamos f x tiende a donde cuando cuando x tiende ahora a menos infinito eso es que x se haga muy muy pequeña pues si aquí se hace muy muy muy pequeña entonces x al cubo se hace muy muy muy muy muy pequeña se hace pequeña como el cubo de veces que x entonces de nuevo este término es el que domina y como x al cubo para un número negativo siempre va a ser un número negativo cuando x se va a menos infinito f x se debe ir a menos infinito también muy bien qué pasa ahora con g de x pues gx como decíamos está definido por la recta y esta recta cuando aquí se hace cada vez más grande simplemente sigue subiendo y subiendo y subiendo por lo tanto gx también se hace muy grande y cuando x se hace muy muy pequeño la recta sigue bajando y bajando y bajando y bajando por lo tanto x se hace también muy pequeña de modo que si tienen el mismo comportamiento en los extremos finalmente nos dicen comparten una intersección con el eje x pues aquí tenemos las intersecciones de gx sólo lo corta una vez corta una vez al eje x y es precisamente en -3 para encontrar las intersecciones con el eje x de x al cubo menos equis simplemente voy a factorizar esto podría factorizar la equis y escribir esto como x por x al cuadrado menos 1 ahora esto es una diferencia de cuadrados por lo tanto puede escribirlo como x por x menos 1 por x más 1 ahora bien la intersección con el eje x se da cuando el valor de fx es cero por lo tanto esta expresión de aquí se tiene que anular tiene que valer cero y eso pasa cuando x es igual a cero porque en este caso este factor se anula cuando x es igual a 1 porque en este caso este factor de acá se anula este de aquí o cuando x es igual a menos 1 en cuyo caso se anula este factor así que estas son las tres intersecciones que tiene f x con el eje x y claramente ninguna de esas es la misma que la intersección de gx con el eje x por lo tanto ésta tampoco es cierta la única característica que comparten es que tienen el mismo comportamiento en los extremos