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Rango de funciones cuadráticas

Aprende a determinar el rango de cualquier función cuadrática a partir de su forma canónica.
En este artículo, aprenderemos cómo encontrar el rango de funciones cuadráticas.
En otras palabras, aprenderemos cómo determinar el conjunto de todos los valores posibles de salida de una función cuadrática dada.

Estudiemos un problema de ejemplo

Queremos encontrar el rango de la función f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, plus, 7.
En este artículo, así como hemos utilizado la letra x para referirnos a los valores de entrada, usaremos la letra y para referirnos a los valores de salida. Por ejemplo, y, equals, 7 es el valor de salida de f para el valor de entrada x, equals, minus, 3 (esta es tan solo otra forma de decir f, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 7).
Encontrar el rango de una función solo viendo su formula, ¡es muy difícil! De hecho, ¡ni siquiera es fácil saber si un solo valor es un valor de salida posible!
Por ejemplo, ¿es y, equals, 9 un valor de salida posible para f?
Para poder responder la pregunta, necesitamos sustituir la fórmula de f en f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9 y resolver la igualdad. Si encontramos una solución, entonces y, equals, 9 es un valor posible de salida. De otro modo, no lo es.
Sin embargo, no podemos comprobar esto para todos los valores de salida posibles, pues ¡son infinitos!. En este artículo veremos dos métodos posibles de solución, para evitar este problema.

Método de solución 1: el enfoque gráfico

Resulta que las gráficas son muy útiles para estudiar el rango de una función. Afortunadamente, tenemos la habilidad para graficar funciones cuadráticas.
He aquí la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Ahora es claramente visible que y, equals, 9 no es un valor de salida posible, pues la gráfica nunca interseca la recta y, equals, 9.
Realicemos comprobaciones similares para otros pocos valores de y.
Pregunta 1Pregunta 2
¿Es y, equals, minus, 5 un valor de salida posible para f?
Escoge 1 respuesta:

¿Es y, equals, minus, 50 un valor de salida posible para f?
Escoge 1 respuesta:

Hemos visto cómo comprobar si un valor dado es un valor de salida posible, utilizando una gráfica. ¡De hecho una gráfica nos puede indicar todo el rango de valores de salida posibles!
Por ejemplo, la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis nos muestra que 7 (la coordenada y del vértice) es el máximo y, de los valores de salida de la función. Más aún, como la parábola abre hacia abajo, cada valor de y abajo de 7 es también un valor posible de salida.
En otras palabras, el rango de f está compuesto de todos los valores de y menores o iguales a 7. ¡Eso es todo! Matemáticamente, podemos escribir el rango de f como left brace, y, \in, R, space, vertical bar, space, y, is less than or equal to, 7, right brace.

¡Tu turno!

Considera la función g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared, minus, 5 que se grafica a continuación.
¿Cuál es el rango de g ?
Escoge 1 respuesta:

Método de solución 2: el enfoque algebraico

A estas alturas, ¡y con mucha razón!, te estarás preguntando: "¿Tengo que dibujar la gráfica siempre que quiera encontrar el rango?". La flojera es una gran motivación para encontrar mejores maneras de resolver problemas.
Pensemos sobre el trabajo que hicimos anteriormente y busquemos un patrón.
Nuestra primera función, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, plus, 7, es una parábola que abre start color #aa87ff, start text, h, a, c, i, a, space, a, b, a, j, o, end text, end color #aa87ff y cuyo vértice está en y, equals, start color #11accd, 7, end color #11accd. Como consecuencia, su rango está compuesto por todos los valores de y start color #aa87ff, start text, m, e, n, o, r, e, s, end text, end color #aa87ff o iguales a start color #11accd, 7, end color #11accd.
Nuestra segunda función, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared, minus, 5, es una parábola que abre start color #aa87ff, start text, h, a, c, i, a, space, a, r, r, i, b, a, end text, end color #aa87ff y cuyo vértice está en y, equals, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd. Como consecuencia, su rango está compuesto por todos los valores de y start color #aa87ff, start text, m, a, y, o, r, e, s, end text, end color #aa87ff o iguales a start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.
Resulta que para determinar el rango de una función cuadrática, todo lo que necesitamos saber es la coordenada y del vértice de su gráfica, y si abre hacia arriba o hacia abajo.
Esto es fácil de determinar a partir de la forma canónica de una ecuación cuadrática, y, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, h, right parenthesis, squared, plus, start color #11accd, k, end color #11accd. En esta forma la parábola tiene su vértice en y, equals, start color #11accd, k, end color #11accd, y abre start color #aa87ff, start text, h, a, c, i, a, space, a, r, r, i, b, a, end text, end color #aa87ff cuando start color #9d38bd, a, end color #9d38bd, is greater than, 0, y start color #aa87ff, start text, h, a, c, i, a, space, a, b, a, j, o, end text, end color #aa87ff cuando start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, is less than, 0.

Tu turno

Usa lo que has aprendido para encontrar el rango de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, squared, plus, 2.
left brace, y, \in, R, vertical bar
right brace

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