Rango de funciones cuadráticas

En este artículo, aprenderemos cómo encontrar el rango de funciones cuadráticas.

En otras palabras, aprenderemos cómo determinar el conjunto de todos los valores posibles de salida de una función cuadrática dada.

Queremos encontrar el rango de la función $f(x)=-2(x+3)^2+7$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, plus, 7.

Encontrar el rango de una función solo viendo su formula, ¡es muy difícil! De hecho, ¡ni siquiera es fácil saber si un solo valor es un valor de salida posible!

Por ejemplo, ¿es $y=9$y, equals, 9 un valor de salida posible para $f$f?

Para poder responder la pregunta, necesitamos sustituir la fórmula de $f$f en $f(x)=9$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9 y resolver la igualdad. Si encontramos una solución, entonces $y=9$y, equals, 9 es un valor posible de salida. De otro modo, no lo es.

Sin embargo, no podemos comprobar esto para todos los valores de salida posibles, pues ¡son infinitos!. En este artículo veremos dos métodos posibles de solución, para evitar este problema.

Resulta que las gráficas son muy útiles para estudiar el rango de una función. Afortunadamente, tenemos la habilidad para graficar funciones cuadráticas.

He aquí la gráfica de $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.

Ahora es claramente visible que $y=9$y, equals, 9 no es un valor de salida posible, pues la gráfica nunca interseca la recta $y=9$y, equals, 9.

Realicemos comprobaciones similares para otros pocos valores de $y$y.

Hemos visto cómo comprobar si un valor dado es un valor de salida posible, utilizando una gráfica. ¡De hecho una gráfica nos puede indicar todo el rango de valores de salida posibles!

Por ejemplo, la gráfica de $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis nos muestra que $7$7 (la coordenada $y$y del vértice) es el máximo $y$y, de los valores de salida de la función. Más aún, como la parábola abre hacia abajo, cada valor de $y$y abajo de $7$7 es también un valor posible de salida.

En otras palabras, el rango de $f$f está compuesto de todos los valores de $y$y menores o iguales a $7$7. ¡Eso es todo! Matemáticamente, podemos escribir el rango de $f$f como ${\{} y\in \mathbb{R} ~|~ y\leq 7 {\}}$left brace, y, \in, R, space, vertical bar, space, y, is less than or equal to, 7, right brace.

Considera la función $g(x)=(x-4)^2-5$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared, minus, 5 que se grafica a continuación.

A estas alturas, ¡y con mucha razón!, te estarás preguntando: "¿Tengo que dibujar la gráfica siempre que quiera encontrar el rango?". La flojera es una gran motivación para encontrar mejores maneras de resolver problemas.

Pensemos sobre el trabajo que hicimos anteriormente y busquemos un patrón.

Resulta que para determinar el rango de una función cuadrática, todo lo que necesitamos saber es la coordenada $y$y del vértice de su gráfica, y si abre hacia arriba o hacia abajo.

Esto es fácil de determinar a partir de la forma canónica de una ecuación cuadrática, $y = \purpleC{a}(x-h)^2 + \blueD{k}$y, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, h, right parenthesis, squared, plus, start color #11accd, k, end color #11accd. En esta forma la parábola tiene su vértice en $y=\blueD{k}$y, equals, start color #11accd, k, end color #11accd, y abre $\purpleC{\text{hacia arriba}}$start color #aa87ff, start text, h, a, c, i, a, space, a, r, r, i, b, a, end text, end color #aa87ff cuando $\purple{a}>0$start color #9d38bd, a, end color #9d38bd, is greater than, 0, y $\purpleC{\text{hacia abajo}}$start color #aa87ff, start text, h, a, c, i, a, space, a, b, a, j, o, end text, end color #aa87ff cuando $\purpleC{a}<0$start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, is less than, 0.