Dominio y rango de funciones cuadráticas

determina el dominio y rango de la función fx igual a 3 x al cuadrado más 6 x menos dos muy bien vamos a empezar con el dominio el dominio de una función es el conjunto de números que podemos meter a la función y obtener un resultado válido en este caso pues podemos poner cualquier valor de x verdad cualquier número lo podemos elevar al cuadrado multiplicarlo por tres sumarle seis veces el número y restarle dos así que en este caso el dominio el dominio es muy sencillo el dominio es todos los números reales todos los números números reales reales en realidad hay otros números los imaginarios y los complejos que también podrían estar en el dominio pero como no hemos platicado mucho de ellos nada más nos vamos a quedar con esta idea con la idea de que el dominio es todos los números reales es decir los positivos los negativos este las fracciones y otros cuantos más que están por ahí vale bueno pasemos ahora a rne al rango de la función del rango de una función es todos los valores que la función alcanza es decir si ponemos ya iguala y fede x entonces el rango es el conjunto de todos los posibles valores que puede tener ye cómo le vamos a hacer para determinar el rango en este caso pues vamos a hacer la gráfica de la función y eso nos debería a pues no debería ayudar a determinar el rango vale cuál va a ser el plan el plan va a ser graficar esto de acá que si te das cuenta es algo cuadra tico entonces es una parábola es una parábola que se abre hacia arriba o bien es una parábola que abre hacia abajo y bueno una vez que tengamos la gráfica podemos identificar el vértice de nuestra parábola y si conocemos el vértice pues todos los valores que podemos alcanzar son aquellos que están por arriba del vértice y los que no son los que están por abajo vale misma idea si están si estuviéramos en este caso los valores que podemos alcanzar son los de abajo y los que no son los de arriba como aquí tenemos un 3 un coeficiente principal positivo entonces estamos en este caso de acá nuestra parábola staab ésta hacia arriba o sea que se ve como una u ocre y entonces vamos a hacer la gráfica y vamos a ver dónde está el vértice en realidad podríamos utilizar la formulita del vértice que nos dice que está en - b entre dos a aquí nos quedaría menos seis en 36 josé alberti se estarían menos uno pero déjame hacer una tabla para ver que también nos podemos apoyar en eso entonces aquí va a estar la tabla de valores de x y df dx vale x y efe de x ok entonces vamos a poner aquí menos dos vamos a ver cuánto nos da la función en -2 cómo le hacemos tenemos que hacer tres por menos dos al cuadrado o sea 3 x 4 para eso tenemos que restarle porque va a quedar seis por menos dos entonces tenemos que restarle 12 y luego tenemos que restar 2 3 por 4 2 12 - 12 es cero esto se va menos dos es menos dos entonces la función la función en el punto menos dos nos da igual a menos dos vamos a otro valor vamos a menos 1 - 1 ya sabemos que es el vértice vamos a ver cuánto nos queda la función evaluada ahí tendríamos que hacer tres por uno sería 3 - 6 - 6 - 2 - 2 muy bien 3 - 6 - 3 - 2 - sin entonces en x igual a menos unos valores menos cinco vamos a poner un par de valores más déjame ponerlo aquí igual a cero está fácil de evaluar porque éste sea cero éste sea cero y que simplemente nos queda menos dos y aquí se empieza a ver un poquito esta idea de de que menos uno es el vértice de la parábola porque empezamos a tener valores simétricos alrededor de -1 y estamos en -1 y bajamos uno nos da menos dos si subimos uno nos da menos dos también bueno vamos a seguir le vamos a poner un valor más voy a poner uno entonces nos quedaría tres por uno al cuadrado que es 3 + 6 y luego -2 - 23 +69 -12 7 así que aquí nos queda igual a 7 muy bien ya teniendo estos valores en la tablita vamos a hacer la gráfica de la función déjame pintar por aquí ejes aquí voy a poner un eje vertical y horizontal esté aquí va a ser el eje x este va a ser el eje jem y vamos a pintar la gráfica de la función igual a efe de x vale entonces como pongo la escala pues a ver aquí tengo menos dos menos 101 entonces voy a poner que más o menos por ahí está el -1 por acá hasta el -2 1 por acá el 2 más o menos y en el eje che tenemos que ser un poco más cuidadoso porque quiero llegar hasta menos cinco y siete entonces voy a poner más o menos así la escala 1 2 3 4 5 6 7 - 1 - 2 - 3 - 4 - cinco muy bien creo que con esto ya tengo todo para graficar menos cinco por acá está el 77 un poco más bonito todavía más bonito el 7 ok para que al menos 2 - 1 el 0 y el 1 y el 2 ok entonces voy a pasar estos puntos aquí a la gráfica vamos a ver qué nos queda entonces tenemos que poner el punto menos 2,2 menos dos onces esté de por acá este es el menos 2,2 menos 222 coma menos dos muy bien luego tenemos que poner menos 1,5 menos uno con al menos cinco este punto de por acá vale el -1 como -5 luego cuando equivale 0 la función vale menos dos así que tenemos que poner este puntito el 0,22 ahí está lo de la asimetría que te digo alrededor del -1 está este y este valor es como si aquí pusiéramos una línea vertical y terry tuviéramos simetría ahorita se ha abierto había mejor cuando complete la parábola de japón el último punto en el que uno vale 71 vale 7 muy bien así que si el dibujo me queda más o menos bien voy a poner con blanco lavar la parábola se vería algo así aquí viene baja llega a este punto luego comienza a subir y luego sube más y más hasta llegar al 7 de modo similar por acá también sube por acá también sube vale entonces esto qué pinta en blanco déjame que me pongo algunos puntitos más estoy aquí es el 0,22 esté acá es el 2,7 para que quede más más bonito entonces ahora sí esto que pinte en blanco es justo la gráfica de ye igual a efe de x vale y como te digo o sea tenemos simetría alrededor del -1 alrededor del vértice que es el menos uno pero bueno hay que regresar al problema que es lo importante de verdad y todo esto lo hicimos para determinar cuál para determinar ja ja cuál es el rango de la función entonces cómo le hacemos para determinar el rango es justo lo que te decía mira del -5 aquí el valor es menos cinco verdad del -5 hacia arriba podemos tomar todos los valores la función toma todos los valores todos los números reales que están por arriba de -5 sin embargo no hay ningún punto en la gráfica por debajo de esta línea es decir la función no toma ningún valor ningún valor a bajo de -5 si estoy aquí en el -1 me da menos cinco si voy a ser de izquierdas hubo si voy hacia la derecha también su voz y por lo tanto no puedo alcanzar valores menores que menos cinco entonces ya dejan escribir eso en color morado entonces el rango el rango de la función sería todos los números reales todos los números reales pero reales pero que sean mayores o iguales a -5 de -5 para arriba si se pueden alcanzar sar de estrictamente abajo de -5 no se pueden alcanzar