Dominio y rango de funciones cuadráticas

determina el dominio y rango de la función f x igual a 3 x al cuadrado más 6 x menos 2 muy bien vamos a empezar con el dominio el dominio de una función es el conjunto de números que podemos meter a la función y obtener un resultado válido en este caso pues podemos poner cualquier valor de x verdad cualquier número lo podemos elevar al cuadrado multiplicarlo por 3 sumarle 6 veces el número y restarle 2 así que en este caso el dominio el dominio es muy sencillo el dominio es todos los números reales todos los números números reales reales en realidad hay otros números los imaginarios y los complejos que también podrían estar en el dominio pero como no hemos platicado mucho de ellos nada más nos vamos a quedar con esta idea con la idea de que el dominio es todos los números reales es decir los positivos los negativos este las fracciones y otros cuantos más que están por ahí vale bueno pasemos ahora al rango al rango de la función el rango de una función es todos los valores que la función alcanza es decir si ponemos ya igual a efe de x entonces el rango es el conjunto de todos los posibles valores que puede tener y como le vamos a hacer para determinar el rango en este caso pues vamos a hacer la gráfica de la función y eso nos debería a pues nos debería ayudar a determinar el rango vale cuál va a ser el plan el plan va a ser graficar esto de acá que si te das cuenta es algo cuadrática entonces es una parábola es una parábola que se abre hacia arriba o bien es una parábola que abre hacia abajo y bueno una vez que tengamos la gráfica podemos identificar el vértice de nuestra parábola y si conocemos el vértice pues todos los valores que podemos alcanzar son aquellos que están por arriba del vértice y los que no son los que están por abajo vale misma idea si están si estuviéramos en este caso los valores que podemos alcanzar son los de abajo y los que no son los de arriba como aquí tenemos un 3 un coeficiente principal positivo entonces estamos en este caso de acá nuestra parábola está abierta hacia arriba o sea que se ve como una ok entonces vamos a hacer la gráfica y vamos a ver dónde está el vértice generalidad podríamos utilizar la formulita del vértice que nos dice que está en menos b / 2a aquí nos quedaría menos 6 entre 6 o sea el vértice estaría en menos 1 pero déjame hacer una tabla para ver qué también nos podemos apoyar en eso entonces aquí va a estar la tabla de valores de x y df de x vale entonces xy efe de x ok entonces vamos a poner aquí menos 2 vamos a ver cuánto nos da la función en menos 2 cómo le hacemos tenemos que hacer 3 x menos 2 al cuadrado o sea 3 por 4 para eso tenemos que restarle porque va a quedar 6 x menos 2 entonces tenemos que restarle 12 y luego tenemos que restar 2 3 x 4 es 12 12 es cero esto se va menos 2 es menos 2 entonces la función la función en el punto menos 2 nos da igual a menos 2 vamos a otro valor vamos a menos uno menos uno ya sabemos que es el vértice vamos a ver cuánto nos queda la función evaluada ahí tendríamos que hacer tres por uno sería tres menos seis menos seis menos dos -2 muy bien 36 es menos tres menos doce menos cinco entonces en x igual a menos uno el valor es menos cinco vamos a poner un par de valores más déjame ponerlo aquí x igual a cero esto está fácil de evaluar porque éste se hace cero éste se hace cero así que simplemente nos queda menos dos y aquí se empieza a ver un poquito esta idea de que menos uno es el vértice de la parábola porque empezamos a tener valores simétricos alrededor de menos uno si estamos en menos 1 y bajamos 1 nos da menos 2 si subimos 1 nos da menos 2 también bueno vamos a seguir le vamos a poner un valor más voy a poner 1 entonces nos quedaría 3 por 1 al cuadrado que es 3 + 6 y luego menos 2 - 2 3 669 menos 12 7 así que aquí nos queda igual a 7 muy bien ya teniendo estos valores en la tablita vamos a hacer la gráfica de la función déjame pintar por aquí ejes aquí voy a poner un eje vertical y un eje horizontal este de aquí va a ser el eje x este va a ser el eje y vamos a pintar la gráfica de la función de igual a efe de x vale entonces como pongo la escala pues a ver aquí tengo menos 2 menos 101 entonces voy a poner que es más o menos por ahí hasta el -1 por acá está el -2 por aquel uno por acá el dos más o menos y en el eje tengo que ser un poco más cuidadoso porque quiero llegar hasta menos cinco y siete entonces voy a poner más o menos así la escala 2 3 4 5 6 7 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 muy bien creo que con esto ya tengo todo para graficar menos 5 por acá está el 7 el 7 un poco más bonito no todavía más bonito el 7 ok por acá al menos 2 menos uno el cero el 1 y el 2 ok entonces voy a pasar estos puntos aquí a la gráfica vamos a ver qué nos queda entonces tenemos que poner el punto menos dos menos dos entonces sería este de por acá este es el menos dos coma menos 2 en los dos menos dos muy bien luego tenemos que poner el -1 5 -1 con al menos 5 este punto de por acá vale al menos 15 luego cuando x vale 0 la función vale menos 2 así que tenemos que poner este puntito el 0 - 2 ahí está lo de la simetría que te digo alrededor del menos uno está este y este valor es como si aquí pusiéramos una línea vertical y tuviéramos simetría ahorita se va a ver todavía mejor cuando complete la parábola deja pongo el último punto en el 1 vale 7 en 1 vale 7 muy bien así que si el dibujo me queda más o menos bien lo voy a poner con blanco lavar la parábola se vería algo así aquí viene baja llega a este punto luego comienza a subir y luego sube más y más hasta llegar al 7 y de modo similar por acá también sube por acá también sube vale entonces esto que pinta en blanco déjame déjame pongo algunos puntitos más este de aquí es el 0,2 este de acá es el 27 para que quede más más bonito entonces ahora sí esto que pinte en blanco es justo la gráfica de e igual a efe de x vale y como te digo o sea tenemos simetría alrededor del -1 alrededor del vértice que es el menos uno pero bueno hay que regresar al problema que es lo importante verdad todo esto lo hicimos para determinar lo cual para determinar jaja cuál es el rango de la función entonces cómo le hacemos para determinar el rango pues justo lo que te decía mira del -5 aquí el valor es menos 5 verdad del -5 hacia arriba podemos tomar todos los valores la función toma todos los valores todos los números reales que están por arriba de menos 5 sin embargo no hay ningún punto en la gráfica por debajo de esta línea es decir la función no toma ningún valor ningún valor abajo de menos 5 si esto ya en el -1 me da menos 5 si voy a hacer la izquierda subo y voy hacia la derecha también subo y por lo tanto no puedo alcanzar valores menores que menos 5 entonces ya déjame escribir eso en color morado entonces el rango el rango de la función sería todos los números reales todos los números reales pero ideales pero que sean mayores o iguales a menos cinco de menos cinco para arriba si se pueden alcanzar de estrictamente abajo de menos cinco no se pueden alcanzar