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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 7

Lección 20: Encontrar funciones inversas (nivel de álgebra 2)
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Funciones
Encontrar funciones inversas (nivel de álgebra 2)
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Determinar funciones inversas

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Aprende a obtener la fórmula de la inversa de una función dada. Por ejemplo, determina la inversa de f(x)=3x+2.
Funciones inversas, en el sentido más amplio, son funciones que hacen lo "contrario" de cada una. Por ejemplo, si f convierte a en b, entonces la inversa debe convertir b en a.
O, en otras palabras, f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a.
En este artículo aprenderemos como encontrar la fórmula de la función inversa, cuando tenemos la fórmula de la función original.

Antes de empezar...

En esta lección encontraremos la función inversa de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 2.
Antes de hacer eso, pensemos como encontraríamos f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis.
Para encontrar f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, necesitamos el valor de entrada de f que corresponde a un valor de salida igual a 8. Esto porque si f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals, x, entonces por la definición de inversas, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8.
f(x)=3x+28=3x+2Sea f(x)=8.6=3xResta 2 de ambos lados. 2=xDivide ambos lados entre 3.\begin{aligned} f(x) &= 3 x+2\\\\ 8 &= 3 x+2 &&\small{\gray{\text{Sea f(x)=8}}.} \\\\6&=3x &&\small{\gray{\text{Resta 2 de ambos lados. }}}\\\\ 2&=x &&\small{\gray{\text{Divide ambos lados entre 3.}}} \end{aligned}
Así que f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 8, lo que significa que f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals, 2

Encontrar funciones inversas

Podemos generalizar lo que hicimos antes para encontrar f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis para cualquier y.
Para encontrar f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, podemos encontrar el valor de entrada de f que coresponde a un valor de salida igual a y. Esto es porque si f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, x, entonces por la definición de inversas f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, y.
f(x)=3x+2y=3x+2Hagamos f(x)=yy−2=3xResta 2 de ambos lados.y−23=xDivide ambos lados entre 3.\begin{aligned} f(x) &= 3 x+2\\\\ y &= 3 x+2 &&\small{\gray{\text{Hagamos f(x)=y}}} \\\\y-2&=3x &&\small{\gray{\text{Resta 2 de ambos lados.}}}\\\\ \dfrac{y-2}{3}&=x &&\small{\gray{\text{Divide ambos lados entre 3.}}} \end{aligned}
Así que f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, start fraction, y, minus, 2, divided by, 3, end fraction.
Puesto que la elección de la variable es arbitraria, podemos escribir esto como f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 2, divided by, 3, end fraction.

Comprueba tu comprensión

1) Función lineal

Encuentra la inversa de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 5.
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

2) Función cúbica

Encuentra la inversa de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2.
h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

3) Función con raíz cúbica

Encuentra la inversa de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, dot, cube root of, x, end cube root.
f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

4) Funciones racionales

Encuentra la inversa de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction.
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

5) Problema de desafío

Selecciona el tipo de inversa que corresponde a cada función.
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