Determinar funciones inversas: lineales

aquí tenemos la función fx es igual a menos x 4 y su gráfica y queremos encontrar la inversa de f y graficar la déjame empezar encontrando la inversa de la función f x para eso tomamos igual a fx es decir que es igual a menos x + 4 - x 4 con esto ponemos allí en términos de x pero para encontrar la inversa debemos poner a x en términos de g entonces voy a despejar x voy a restar 4 de ambos lados para obtener que ye menos 4 es igual a menos x y luego voy a dividir entre menos 1 para obtener que menos más 4 es igual a x déjame voltear esta igualdad para que la variable dependiente me quede a la izquierda y nos queda que x es igual a menos más 4 con esto logramos poner a x en función de y entonces déjame escribir eso voy a poner que f a la menos uno es decir me voy a fijar en la función inversa de i d i es igual a menos a más 4 y a partir de aquí puedo cambiar el nombre de la variable sin ningún problema es decir puedo escribir que efe al menos 1 de x es igual a menos x más 4 estas dos funciones estas dos son idénticas simplemente cambiamos el nombre de la variable muy bien notemos que casualmente nos quedó que la inversa de f la inversa de f es exactamente igual a efe es decir f es su propia inversa de esta manera cuando graphic hemos f inversa de x la gráfica nos va a quedar exactamente la misma nos va a quedar justo encima de algo de este estilo va y esto tiene sentido por varias razones si recuerdas en el vídeo anterior dije que la gráfica de la función inversa es la reflejada de la gráfica de la función con respecto a la función ye igual a x aquí la x es esta línea que es perpendicular es perpendicular a la gráfica de la función original y entonces al reflejar caemos exactamente en la misma gráfica si quieres vamos a seguir viendo que esto tenga sentido notemos que cuando hacemos efe 2 caemos en 2 y cuando hacemos efe de 4 caemos el 0 y si nos vamos ahora a la inversa efe de 2 cayenne 2 lo cual está bien de 2 vamos a 2 y con la inversa regresamos y la inversa aplicada en 0 es igual a 4 entonces efe nos manda 0 a 4 y efe inversa perdón efe nos manda 4 a 0 y efe inversa nos manda 0 a 4 entonces hasta ahí todo tiene sentido déjame hacer otro ejemplo a lo mejor para ti ya es muy claro pero lo voy a hacer por si queda alguna duda vamos a 5 notemos que efe de 5 es menos 1 efe de 5 es igual a menos 1 o bien podemos poner que f manda 5 a menos 1 a menos 1 y ahora qué sucede con efe inversa en menos 1 efe inversa en menos uno va a 5 entonces efe efe inversa en menos 1 es igual a 5 va o bien podemos poner que f inversa manda menos 1 a 5 y entonces esto esto tiene todo el sentido verdad es más hasta podemos verlo con el dominio y con el rango si por aquí pintamos el dominio y por acá pintamos el rango esto que acabamos de hacer nos dice que f aplicado en 5 por aquí está el 5 entonces al aplicar efe acá hemos de este lado a menos 1 esta de aquí es efe y al aplicar f inversa que lo voy a poner en rojo vamos de menos 1 vamos de menos 1 a 5 y eso es exactamente lo que queremos que suceda con la inversa déjame ponerle aquí efe al menos uno muy bien vamos a hacer otro problema aquí tenemos la función de x igual a menos 2 x 1 y su gráfica vamos a calcular la inversa y graficar la una vez más tomamos igual a menos 2 x menos 1 y ahora despejamos x sumando uno de ambos lados ye más uno es igual a menos 2x y dividiendo entre menos 2 menos medios menos un medio es igual a equis voy a poner la x a la izquierda x es igual a menos medios menos un medio y voy a poner ahora que esto es la inversa pero hay que tener cuidado esto es la inversa de g no de f entonces nos quedaría que g inversa de i d g es igual a menos de entre 2 - 1 medio y otra vez voy a cambiarla por equis entonces he inversa de x es igual a menos x medios menos un medio muy bien vamos a hacer la gráfica aquí ya tenemos la gráfica de x estoy acá es igual a gdx voy a poner en rojo voy a poner en rojo la gráfica de la función o sea la menos uno de x como quedaría esta función bueno pues cortar el eje y en menos un medio y tiene pendiente menos un medio entonces sí avanzó 1 bajó 1 se bajó un medio se avanzó 1 bajó un medio se avanzó 1 bajó un medio y para atrás voy subiendo un medio entonces la gráfica quedaría voy a tomar la herramienta de línea recta quedaría más o menos y si quieres para verificar déjame escribirle que esté de igual ag inversa de x si quieres para verificar vamos a trazar la gráfica de iguala x para ver que realmente una es el reflejo de la otra entonces la gráfica de igual a x nos queda no nos queda por acá queda de aquí para acá de aquí para acá sale y en efecto pues parece ser que la roja es la reflejada de la azul entonces de esta forma encontramos encontramos la inversa de la función recuerda simplemente ponemos de igual a menos 2 x 1 despejamos x y luego sustituimos la ye por x y con eso encontramos la inversa