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Contenido principal
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Transcripción del video

aquí tenemos la función f x igual a x + 2 al cuadrado más 1 para las x que son mayores o iguales que menos 2 y queremos determinar la función inversa encontrar efe al menos 1 de x una cosa que te puedes estar preguntando es por qué estamos restringiendo el dominio de x porque estamos pidiendo que x sea mayor o igual que menos 2 bueno me gustaría que pensaras acerca de eso me gustaría que después reflexionar un poquito qué problema traería que definiéramos la función en todos los reales es decir porque si la definimos en todos los reales no vamos a poder encontrar una función inversa pero bueno te lo dejo para que los reflexiones y tal vez después haga un vídeo explicando lo yo va bueno entonces vamos a encontrar la inversa de la función para eso como vimos en vídeos anteriores lo primero que se tiene que hacer es poner e igual a fx lo voy a poner aquí igual a x + 2 elevado al cuadrado elevado al cuadrado más 1 esto lo que nos dice es que a partir de una equis podemos encontrar una y sin embargo encontrar la función inversa es justo encontrar algo que haga lo contrario dada un h queremos encontrar una equis de esta forma en esta expresión lo que tenemos que hacer es despejar x para encontrar la función inversa vamos a hacer eso déjame empezar restando uno de ambos lados entonces nos queda que ye menos 1 es igual a x + 2 elevado al cuadrado y ahora como debes estar esperando lo que tenemos que hacer es sacar raíz cuadrada pero cuidado aquí tenemos que ser cuidadosos con cuál raíz cuadrada vamos a considerar puede ser la positiva o la negativa como sabemos si queremos raíz de menos 1 o menos raíz de menos 1 bueno pues la restricción nos da una pista como x es mayor o igual que menos 2 entonces x + 2 es mayor o igual que cero simplemente sume dos de ambos lados vale entonces esta expresión de aquí adentro que voy a marcar en amarillo siempre es positiva le voy a poner nada más así positiva y por lo tanto al sacar raíz cuadrada debemos tomar la raíz positiva aquí hay que poner raíz de menos 1 es igual a x + 2 es decir aquí no le podemos poner el menos tiene que ser la raíz positiva muy bien y aquí voy a escribir algo que quizás debía haber escrito desde el principio que es una restricción para allí ya tenemos una restricción para x ésta nos la dan desde el inicio y de hecho debería ponerla aquí x es mayor o igual que menos 2 y debería ponerla aquí x es mayor o igual que menos 2 pero también tenemos una restricción para jeff si vemos aquí en la gráfica que siempre es un número mayor o igual que uno le voy a poner aquí que ya es mayor o igual que 1 y eso también se puede observar en esta expresión x más 2 al cuadrado es un número cuadrado entonces siempre es mayor o igual que 0 de modo que yo mayor o igual que 01 es decir que siempre es mayor o igual que uno de mayor o igual que uno ye mayor o igual que uno y aquí también le pongo y mayor o igual que uno ya me voy a olvidar de la equis lo importante ahorita va a ser la aie porque después cuando ya tengamos una función en jeff esto nos va a dar una restricción para su dominio muy bien entonces déjame continuar con el álgebra para despejar x aquí tenemos un +2 voy a restar dos de ambos lados de modo que nos queda que la raíz cuadrada de ye menos 1 - 2 es igual a x para ye mayor o igual que 1 mayor o igual que uno y aquí simplemente voy a intercambiar esta igualdad para que la variable dependiente la x me quede a la izquierda entonces me quedaría que x es igual a la raíz cuadrada de menos uno menos dos y otra vez para i mayor o igual que uno muy bien entonces empezamos con una expresión que a partir de una equis nos permitía construir un allí y aquí ya sabemos cómo a partir de una y podemos construir una x es decir encontramos una función que depende de iu y está justo es la inversa entonces voy a reescribir esto como que f inversa evaluada en g es igual a la raíz cuadrada de ge -1 menos 2 con la restricción de mayor o igual que uno y esto de aquí ya sería una respuesta válida esta ya es una respuesta digamos matemáticamente válida pero hay algunos libros o algunos profesores que piden expresar esto en términos de x y está bien o sea da lo mismo si aquí le pongo yo o zeta oa sigue siendo la misma función entonces nada más déjame reescribirlo en términos de x para que esté en esta forma que lo piden entonces quedaría efe inversa de x es igual a la raíz cuadrada de x1 menos dos con la restricción y aquí ya no es verdad es x con la restricción x mayor o igual que 1 ok entonces esta sería la respuesta aquí tenemos la función inversa expresada en términos de x y otra ventaja de tener la expresada en términos de x es que es más fácil graficar la simplemente pensamos esto como el eje x esto como el eje y hacemos todo como siempre lo hacemos vamos a hacer eso vamos a ver cómo se ve esta función aquí en el plano entonces vamos a creo que lo mejor es tomar algunos valores de prueba qué sucede si le pongo x igual a 1 eso es lo menos que puede valer x verdad porque es mayor o igual que 1 si x es 1 aquí nos queda raíz de 0 - 2 entonces efe inversa de 1 es igual a menos 2 efe inversa de 1 es igual a menos 2 este punto estaría en la gráfica de la función que pasa si le pongo x igualados me quedaría raíz de 2 menos 1 o sea raíz de 1 es decir uno menos dos entonces sería uno menos dos que es menos uno entonces si x es igual a dos y es igual a menos uno efe inversa en dos es menos uno este punto también estaría ahí si le pongo el valor pues le voy a poner x igual a 5 para que aquí me quede un cuadrado perfecto y le pueda sacar raíz entonces sí x 5 tengo 5 menos uno que es 4 raíz de 4 es 22 menos 20 entonces 5 me quedaría 0 muy bien entonces tendríamos esos 3 puntos y me parece que a partir de ahí ya podemos más o menos dibujar la gráfica a ver si me queda derechita quedaría algo como así siento como así ok ok excelente y luego subiría más o menos así entonces esa sería la función de la gráfica y igual a efe inversa de x de x y en efecto coincide con lo que hemos platicado desde el primer vídeo de que esta gráfica es una reflexión con respecto a la gráfica original tomando la línea igual a x la línea de igual a x quedaría más o menos así quedaría más o menos así y como puedes ver en efecto esta es una reflexión de ésta con respecto a esta línea verde si quieres hasta lo puedes verificar tomando algún punto aquí el 5 tiene altura 0 y aquí el 0 tiene altura 5 y eso justo quiere decir que este punto es reflejado de este