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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 7

Lección 15: Composición de funciones (nivel de álgebra 2)
Matemáticas
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Funciones
Composición de funciones (nivel de álgebra 2)
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Composición de funciones

Google Classroom
Examina ejemplos, explicaciones y problemas de práctica para aprender cómo determinar y evaluar funciones compuestas.
Dadas dos funciones, podemos combinarlas de tal manera que las salidas de una función se conviertan en las entradas de otra. Esta acción define una función compuesta. ¡Veamos qué significa esto!

Evaluar funciones compuestas

Ejemplo

Si f(x)=3x−1 y g(x)=x3+2, entonces, ¿qué es f(g(3))?

Solución

Una forma de evaluar f(g(3)) es trabajar "de adentro hacia afuera". En otras palabras, evaluemos g(3) primero, y después sustituyamos ese resultado en f para encontrar nuestra respuesta.
Evaluemos g(3).
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   Sustituye x=3.=29
Como g(3)=29, entonces f(g(3))=f(29).
Ahora evaluemos f(29).
f(x)=3x−1f(29)=3(29)−1               Sustituye x=29.=86
Así, tenemos f(g(3))=f(29)=86.

Encontrar la función compuesta

En el ejemplo anterior, la función g convirtió 3 a 29, y la funciónf convirtió 29 a 86. Encontremos la función que convierta 3 directamente a 86.
Para hacer esto, debemos componer las dos funciones y encontrar f(g(x)).

Ejemplo

¿Qué es f(g(x))?
Como referencia, recuerda que f(x)=3x−1 y g(x)=x3+2.

Solución

Si observamos la expresión f(g(x)), podemos ver que g(x) es la entrada de la función f. Así que sustituyamos g(x) donde aparece x en la función f.
f(x)=3x−1f(g(x))=3(g(x))−1
Como g(x)=x3+2, podemos sustituir g(x) por x3+2.
f(g(x))=3(g(x))−1=3(x3+2)−1=3x3+6−1=3x3+5
Esta nueva función debe convertir 3 directamente a 86. Comprobémoslo.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86
¡Excelente!

Practiquemos

Problema 1

f(x)=3x−1
g(x)=x3+2
Evalúe g(f(1)).
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 2

m(x)=3x−2
n(x)=x+4
Encuentra m(n(x)).

Funciones compuestas: una definición formal

En el ejemplo anterior encontramos y evaluamos una función compuesta.
En general, para indicar la función f compuesta con la función g, podemos escribir f∘g, que se lee como "f compuesto con g". Esta composición se define con la siguiente regla:
(f∘g)(x)=f(g(x))
El siguiente diagrama muestra la relación entre (f∘g)(x) y f(g(x)).
Ahora veamos otro ejemplo con esta nueva definición en mente.

Ejemplo

g(x)=x+4
h(x)=x2−2x
Encuentra (h∘g)(x) y (h∘g)(−2).

Solución

Podemos encontrar (h∘g)(x) de la siguiente manera:
(h∘g)(x)=h(g(x))Define.=(g(x))2−2(g(x))Sustituye g(x) por x en la función h.=(x+4)2−2(x+4)Sustituye x+4 en lugar de g(x).=x2+8x+16−2x−8Distribuye.=x2+6x+8Combina términos semejantes.
Puesto que ahora tenemos la función h∘g, podemos simplemente sustituir x por −2 para encontrar (h∘g)(−2).
(h∘g)(x)=x2+6x+8(h∘g)(−2)=(−2)2+6(−2)+8=4−12+8=0
Por supuesto que también podríamos haber encontrado (h∘g)(−2)evaluando h(g(−2)). Esto se muestra a continuación:
(h∘g)(−2)=h(g(−2))=h(2)        Pues g(−2)=−2+4=2=0             Pues h(2)=22−2(2)=0
El siguiente diagrama muestra como se relaciona (h∘g)(−2) con h(g(−2))
Aquí podemos ver que la función g convierte −2 a 2, y la función h convierte 2 a 0, mientras que la función h∘g convierte −2 directamente a 0.

Ahora practiquemos con algunos problemas

Problema 3

f(x)=3x−5
g(x)=3−2x
Evalúa (g∘f)(3).
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

En los problemas 4 y 5, sean f(t)=t−2 y g(t)=t2+5.

Problema 4

Encuentra (g∘f)(t).

Problema 5

Encuentra (f∘g)(t).

Problema de desafío

Las gráficas de las ecuaciones y=f(x) y y=g(x) se muestran en la cuadrícula abajo.
¿Cuál de las siguientes aproxima mejor el valor de (f∘g)(8)?
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