Simetría de modelos algebraicos

En este artículo aprenderemos a interpretar la simetría de una gráfica, en el contexto de un problema aplicado.

Pero primero, refresquemos nuestra memoria respecto a la simetría de las funciones.

Ahora, echemos un vistazo a un ejemplo.

La energía almacenada en un resorte, $E(x)$E, left parenthesis, x, right parenthesis en joules, es una función del desplazamiento del resorte, $x$x en metros, de su estado natural, donde un valor de $x$x positivo indica que el resorte está estirado, y un valor de $x$x negativo, que el resorte está comprimido. La gráfica de $y=E(x)$y, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis se muestra a continuación.

¿Qué podemos deducir acerca del contexto del problema, dada la simetría de esta gráfica?

Apliquemos a la función $E$E lo que sabemos sobre simetría.

Si reflejas la gráfica de la función sobre el eje $y$y, no cambia.

Entonces la función $E$E es par. Algebraicamente, esto significa que $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis para todo $x$x.

¿Qué significa “$E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis para todo $x$x”?

Como este enunciado es verdadero para todo $x$x, podemos decir que $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis es verdadero cuando $x=2$x, equals, 2, $x=4$x, equals, 4, $x=10$x, equals, 10, etcétera. Empecemos pensando qué significa este enunciado para un valor específico de $x$x, por ejemplo cuando $x=2$x, equals, 2.

Cuando $x=2$x, equals, 2, el enunciado es $E(-2)=E(2)$E, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, 2, right parenthesis.

Si nos concentramos en qué representa cada variable, podremos interpretar el enunciado. Recuerda que un valor de entrada positivo significa que el resorte está estirado, un valor de entrada negativo significa que el resorte está comprimido, y el valor de salida representa la energía almacenada en el resorte.

Con esta interpretación, $\purpleC{E}(\greenD{-2})=\purpleC{E}(\goldD{2})$start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, equals, start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis significa que un $\greenD{\text{resorte comprimido } 2 \text{ metros}}$start color #1fab54, start text, r, e, s, o, r, t, e, space, c, o, m, p, r, i, m, i, d, o, space, end text, 2, start text, space, m, e, t, r, o, s, end text, end color #1fab54 contiene la misma cantidad de$\purpleC{\text{ energía almacenada}}$start color #aa87ff, start text, space, e, n, e, r, g, ı, with, \', on top, a, space, a, l, m, a, c, e, n, a, d, a, end text, end color #aa87ff que el $\goldD{\text{mismo resorte estirado } 2 \text{ metros}}$start color #e07d10, start text, m, i, s, m, o, space, r, e, s, o, r, t, e, space, e, s, t, i, r, a, d, o, space, end text, 2, start text, space, m, e, t, r, o, s, end text, end color #e07d10.

Ahora estamos listos para llevar a cabo nuestra meta, que es interpretar el enunciado más general $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis.

Usando como guía los ejemplos anteriores, observamos que $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis significa que un resorte que es comprimido $x$x metros contiene la misma energía que si es estirado $x$x metros.

En otras palabras: un resorte que es comprimido cierta distancia almacena la misma cantidad de energía que si es estirado la misma distancia.

Intentemos otro ejemplo.

Pranav normalmente usa en su estufa $20$20 kilogramos de madera diarios para mantener su casa a $25$25 grados Celsius. Para ver cómo cambia la temperatura, él trata de ajustar la cantidad, $w$w, de madera que quema. Específicamente, una cantidad positiva $w$w significa que añade $w$w kilogramos de madera, y una cantidad negativa $w$w significa que reduce $w$w kilogramos de madera. En la gráfica de $y=T(w)$y, equals, T, left parenthesis, w, right parenthesis, que se muestra a continuación, $T(w)$T, left parenthesis, w, right parenthesis indica el cambio de temperatura en la casa de Pranav.

La gráfica de la función $T$T es simétrica con respecto al origen.

Entonces, la función $T$T es impar. Algebraicamente, esto significa que $T(-w)=-T(w)$T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis para todo $w$w.

Para interpretar la simetría en esta situación, queremos traducir el enunciado matemático “para todo valor de $w$w, $T(-w)=-T(w)$T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis” en el contexto de este problema.

De nuevo, comencemos pensando el significado de esta afirmación para un valor particular de $w$w. Luego podremos generalizar.

Como ayuda, recordemos que un valor de entrada positivo indica que se añadió madera y uno negativo que se redujo la madera, y que el valor de salida de la función es el cambio en la temperatura.

Así, $\blueC{T}(\maroonC{-1})=-{\blueC T}(\purpleD{1})$start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #ed5fa6, minus, 1, end color #ed5fa6, right parenthesis, equals, minus, start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #7854ab, 1, end color #7854ab, right parenthesis significa que el $\blueC{\text{cambio en la temperatura}}$start color #63d9ea, start text, c, a, m, b, i, o, space, e, n, space, l, a, space, t, e, m, p, e, r, a, t, u, r, a, end text, end color #63d9ea que resulta de quemar $\maroonC{1 \text{ kilogramo menos de madera}}$start color #ed5fa6, 1, start text, space, k, i, l, o, g, r, a, m, o, space, m, e, n, o, s, space, d, e, space, m, a, d, e, r, a, end text, end color #ed5fa6 es opuesto al que resulta de quemar $\purpleD{1 {\text { kilogramo más de madera}}}$start color #7854ab, 1, start text, space, k, i, l, o, g, r, a, m, o, space, m, a, with, \', on top, s, space, d, e, space, m, a, d, e, r, a, end text, end color #7854ab.

Ahora estamos listos para generalizar e interpretar el enunciado de simetría para un valor $w$w general.

En otras palabras: aumentar o disminuir cierta cantidad de madera para quemar, tiene efectos exactamente opuestos en la temperatura de la casa.

En general, para interpretar el significado de simetría en la gráfica de una función, es útil hacer lo siguiente:

Paso $1$1: establece si la función es par o impar y determina qué significa esto algebraicamente.

Paso $2$2: entiende qué representa cada variable en términos del contexto.

Paso $3$3: idea un enunciado que use el significado de las variables, y que compare los valores de salida para valores opuestos de entrada.

Trudy está aprendiendo a conducir una nueva clase de vehículo, cuya velocidad, $V(x)$V, left parenthesis, x, right parenthesis, se determina por la posición de un dial giratorio. La velocidad, en millas por hora, es una función de la posición, $x$x, del dial. Observa que $x>0$x, is greater than, 0 significa que se gira el dial $x$x unidades en el sentido de las manecillas del reloj, y $x<0$x, is less than, 0 significa que se gira $x$x unidades en sentido contrario.

La gráfica de $y=V(x)$y, equals, V, left parenthesis, x, right parenthesis se muestra a continuación.