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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 7

Lección 19: Introducción a la funciones inversas (álgebra de nivel 2)
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Funciones
Introducción a la funciones inversas (álgebra de nivel 2)
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Introducción a las funciones inversas

Google Classroom
Aprende qué es la inversa de una función, y cómo evaluar las inversas de funciones que están dadas en tablas o gráficas.
Funciones inversas, en el sentido más general, son funciones que "revierten" una a la otra.
Por ejemplo, aquí vemos que la función f convierte 1 en x, 2 en z, y 3 en y.
Un diagrama de mapeo. El mapa está etiquetado como f. El primer óvalo contiene los valores uno, dos y tres. El segundo óvalo contiene los valores x, y, y z. Hay una flecha que empieza en uno y apunta a x. Hay una flecha que empieza en dos y apunta a z. Hay una flecha que empieza en tres y apunta a y.
La inversa de f, que se denota como f−1 (y se lee como "f inversa"), revierte este mapeo. La función f−1 convierte x en 1, y en 3, y z en 2.
Un diagrama de mapeo. El mapa está etiquetado como f inversa. El primer óvalo contiene los valores x, y, y z. El segundo óvalo contiene uno, dos y tres. Hay una flecha que empieza en x y apunta a uno. Hay una flecha que empieza en y y apunta a tres. Hay una flecha que empieza en z y apunta a dos.
Pregunta para reflexionar
¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
Escoge 1 respuesta:

Definir funciones inversas

En general, si una función f convierte a en b, entonces la función inversa, f−1, convierte b en a.
El valor a entra en la función f y se convierte en el valor B, que entra en la función f inversa y se convierte en el valor A.
Con esto tenemos la definición formal de funciones inversas:

f(a)=b⟺f−1(b)=a

Profundicemos más en esta definición mediante algunos ejemplos.

Ejemplo 1: diagrama de mapeo

Un diagrama de mapeo. El mapa está etiquetado como h. El primer óvalo contiene los valores cero, cuatro, seis y nueve. El segundo óvalo contiene los valores tres, siete, nueve y doce. Hay una flecha que empieza en cero y apunta a siete. Hay una flecha que empieza en cuatro y apunta a tres. Hay una flecha que empieza en seis y apunta a nueve. Hay una flecha que empieza en nueve y apunta a doce.
Supongamos que la función h está definida con el diagrama de mapeo que está arriba. ¿Qué es h−1(9)?

Solución

Tenemos esta información acerca de la función h, y nos preguntan acerca de la función h−1. Puesto que las funciones inversas revierten la una a la otra, necesitamos revertir nuestro razonamiento.
Específicamente, para encontrar h−1(9), podemos encontrar el valor de entrada de h para el cual el valor de salida es 9. Esto es así porque si h−1(9)=x, entonces por la definición de inversas, h(x)=9.
A partir del diagrama de mapeo, vemos que h(6)=9, así que h−1(9)=6.

Comprueba tu comprensión

Un diagrama de mapeo. El mapa está etiquetado como g. El primer óvalo contiene los valores uno negativo, cero, tres y cinco. El segundo óvalo contiene los valores dos, tres, cuatro y ocho. Hay una flecha que empieza en uno negativo y apunta a tres. Hay una flecha que empieza en cero y apunta a cuatro. Hay una flecha que empieza en tres y apunta a ocho. Hay una flecha que empieza en cinco y apunta a dos.
Problema 1
g−1(3)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Ejemplo 2: gráfica

Esta es la gráfica de la función g. Encontremos g−1(−7).
Un plano coordenado. La escala del eje x aumenta en media unidad y la escala del eje ye aumenta en una unidad. La función y igual g de x es una curva continua que empieza en tres negativo, siete negativo y aumenta lentamente hasta el punto uno negativo, cinco negativo. Entonces la gráfica aumenta más rápido a través del punto cero, cinco punto cinco negativo y uno, tres punto cinco negativo. Continúa aumentando a una tasa más rápida a través del punto dos, dos y el punto tres, diez.

Solución

Para encontrar g−1(−7), podemos encontrar el valor de entrada de g que corresponde a un valor de salida de −7. Esto es así porque si g−1(−7)=x, entonces por la definición de inversas, g(x)=−7.
De la gráfica, vemos que g(−3)=−7.
Por lo tanto, g−1(−7)=−3.
Un plano coordenado. La escala del eje x aumenta en media unidad y la escala del eje ye aumenta en una unidad. La función y igual g de x es una curva continua que empieza en tres negativo, siete negativo y aumenta lentamente hasta el punto uno negativo, cinco negativo. Entonces la gráfica aumenta más rápido a través del punto cero, cinco punto cinco negativo y uno, tres punto cinco negativo. Continúa aumentando a una tasa más rápida a través del punto dos, dos y el punto tres, diez. Hay una recta vertical punteada en x igual a tres negativo y una recta vertical punteada en ye igual siete negativo. Estas rectas se cruzan en el punto tres negativo, siete negativo, que está graficado y etiquetado.

Comprueba tu comprensión

Un plano coordenado. La escala de los ejes X y Y aumenta en media unidad. La función y igual h de x es una recta que pasa por el punto dos negativo, cuatro, el punto cero, tres y el punto dos, dos.
Problema 2
¿Qué es h−1(4)?
Escoge 1 respuesta:

Problema de desafío
Dado que f(x)=3x−2, ¿qué es f−1(7)?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Una conexión gráfica

Los ejemplos anteriores nos han mostrado la conexión algebraica entre una función y su inversa; pero ¡hay también una conexión gráfica!
Considera la función f, dada con la siguiente gráfica y tabla de valores.
Un plano coordenado. La escala de los ejes X y Y aumenta en una unidad. La función y igual f de x es una curva que pasa por los siguientes puntos: el punto dos negativo, un cuarto, el punto uno negativo, un medio, el punto cero, uno, el punto uno, dos y el punto dos, cuatro.
xf(x)
−214
−112
01
12
24
Podemos revertir las entradas y salidas de f para encontrar las entradas y salidas de f−1. Si (a,b) está en la gráfica de y=f(x), entonces (b,a) estará en la gráfica de y=f−1(x).
Con esto tenemos la gráfica y la tabla de valores de f−1.
Un plano coordenado. La escala de los ejes X y Y aumenta en una unidad. La función y igual f inversa de x es una curva que pasa por los siguientes puntos: el punto un cuarto, dos negativo, el punto un medio, uno negativo, el punto uno, cero, el punto dos, uno y el punto cuatro, dos.
xf−1(x)
14−2
12−1
10
21
42
Viendo ambas gráficas juntas, observamos que la gráfica de y=f(x) y la gráfica de y=f−1(x) son reflexiones a lo largo de la recta y=x.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Hay una recta curva que representa la función y igual a f de x. La recta es la ecuación y igual a dos a la potencia de x. Hay otra recta curva que representa la función y igual a f inversa de x. La segunda recta es una reflexión de la primera recta curva sobre la recta y igual a x.
Esto es cierto en general: la gráfica de una función y de su inversa son reflexiones a lo largo de la recta y=x.

Comprueba tu comprensión

Problema 3
Esta es la gráfica de y=h(x).
Un plano coordenado. La escala de los ejes X y Y aumenta en una unidad. Hay una recta que representa la función y igual h de x. La recta pasa por los puntos cero, dos negativo y seis, cero
¿Cuál es la mejor elección para la gráfica de y=h−1(x)?
Escoge 1 respuesta:

Problema 4
La gráfica de y=h(x) es un segmento de recta que une los puntos (5,1) y (2,7).
Arrastra los extremos del segmento continuo de abajo hacia la gráfica de y=h−1(x).

¿Por qué estudiar inversas?

Parece ser arbitrario estar interesados en funciones inversas, pero de hecho ¡las usamos todo el tiempo!
Considera que la ecuación C=59(F−32) sirve para convertir la temperatura en grados Fahrenheit, F, a la temperatura en grados Celsius, C.
Pero supongamos que quisiéramos una ecuación que haga lo contrario: que convierta de temperatura en grados Celsius a temperatura en grados Fahrenheit. Eso es lo que describe a la función F=95C+32, o sea la función inversa.
A un nivel más básico, en matemáticas resolvemos muchas ecuaciones al "aislar la variable". Cuando aislamos la variable, "deshacemos" lo que está a su alrededor. De esta manera, estamos utilizando la idea de funciones inversas para resolver ecuaciones.

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