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Álgebra (todo el contenido)
Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 7
Lección 19: Introducción a la funciones inversas (álgebra de nivel 2)Introducción a las funciones inversas
Aprende qué es la inversa de una función, y cómo evaluar las inversas de funciones que están dadas en tablas o gráficas.
Funciones inversas, en el sentido más general, son funciones que "revierten" una a la otra.
Por ejemplo, aquí vemos que la función f convierte 1 en x, 2 en z, y 3 en y.
La inversa de f, que se denota como f, start superscript, minus, 1, end superscript (y se lee como "f inversa"), revierte este mapeo. La función f, start superscript, minus, 1, end superscript convierte x en 1, y en 3, y z en 2.
Definir funciones inversas
En general, si una función f convierte a en b, entonces la función inversa, f, start superscript, minus, 1, end superscript, convierte b en a.
Con esto tenemos la definición formal de funciones inversas:
f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a
Profundicemos más en esta definición mediante algunos ejemplos.
Ejemplo 1: diagrama de mapeo
Supongamos que la función h está definida con el diagrama de mapeo que está arriba. ¿Qué es h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis?
Solución
Tenemos esta información acerca de la función h, y nos preguntan acerca de la función h, start superscript, minus, 1, end superscript. Puesto que las funciones inversas revierten la una a la otra, necesitamos revertir nuestro razonamiento.
Específicamente, para encontrar h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, podemos encontrar el valor de entrada de h para el cual el valor de salida es 9. Esto es así porque si h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x, entonces por la definición de inversas, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9.
A partir del diagrama de mapeo, vemos que h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9, así que h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6.
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Ejemplo 2: gráfica
Esta es la gráfica de la función g. Encontremos g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis.
Solución
Para encontrar g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, podemos encontrar el valor de entrada de g que corresponde a un valor de salida de minus, 7. Esto es así porque si g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, x, entonces por la definición de inversas, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 7.
De la gráfica, vemos que g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7.
Por lo tanto, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3.
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Una conexión gráfica
Los ejemplos anteriores nos han mostrado la conexión algebraica entre una función y su inversa; pero ¡hay también una conexión gráfica!
Considera la función f, dada con la siguiente gráfica y tabla de valores.
x | f, left parenthesis, x, right parenthesis |
---|---|
minus, 2 | start fraction, 1, divided by, 4, end fraction |
minus, 1 | start fraction, 1, divided by, 2, end fraction |
0 | 1 |
1 | 2 |
2 | 4 |
Podemos revertir las entradas y salidas de f para encontrar las entradas y salidas de f, start superscript, minus, 1, end superscript. Si left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis está en la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, entonces left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis estará en la gráfica de y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis.
Con esto tenemos la gráfica y la tabla de valores de f, start superscript, minus, 1, end superscript.
x | f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis |
---|---|
start fraction, 1, divided by, 4, end fraction | minus, 2 |
start fraction, 1, divided by, 2, end fraction | minus, 1 |
1 | 0 |
2 | 1 |
4 | 2 |
Viendo ambas gráficas juntas, observamos que la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis y la gráfica de y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis son reflexiones a lo largo de la recta y, equals, x.
Esto es cierto en general: la gráfica de una función y de su inversa son reflexiones a lo largo de la recta y, equals, x.
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¿Por qué estudiar inversas?
Parece ser arbitrario estar interesados en funciones inversas, pero de hecho ¡las usamos todo el tiempo!
Considera que la ecuación C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis sirve para convertir la temperatura en grados Fahrenheit, F, a la temperatura en grados Celsius, C.
Pero supongamos que quisiéramos una ecuación que haga lo contrario: que convierta de temperatura en grados Celsius a temperatura en grados Fahrenheit. Eso es lo que describe a la función F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32, o sea la función inversa.
A un nivel más básico, en matemáticas resolvemos muchas ecuaciones al "aislar la variable". Cuando aislamos la variable, "deshacemos" lo que está a su alrededor. De esta manera, estamos utilizando la idea de funciones inversas para resolver ecuaciones.
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- en el ejemplo desarrollado bajo el título "una conexión gráfica", los dos últimos pares ordenados de la tabla de valores de la función inversa de "f", son incorrectos(6 votos)
- en que problemas cotidianos encontramos las funciones inversas(5 votos)
- Parece ser arbitrario estar interesados en funciones inversas, pero de hecho ¡las usamos todo el tiempo!...(2 votos)
- mi respuesta estuvo bien, porqué me dices que está mal?(5 votos)
- Buen contenido, lo que estaba buscando.
Gracias(3 votos) - que la verdad no entiendo(3 votos)
- en donde utilizamos las funciones inversas(2 votos)
- donde utilizamos las funciones inversas(2 votos)
- Dónde se supone que ocupamos las funciones inversas? explíquenmelo en ejemplos de la vida real porfa.
Y no, no me sirve que me digan: " En las clases de mate"-
Me pongo a llorar si me dicen eso.(1 voto) - que mentalidad mas mediocre los que preguntan en que nos va a servir esto en la vida amigo las funciones son parte fundamental del calculo diganme para que no sirve el calculo gracias a esto la fisica ah avanzado mucho por ende la quimica y la tecnologia tambien si no fuera por esto estuvieramos en las epoca de matusalen(0 votos)