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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 7

Lección 19: Introducción a la funciones inversas (álgebra de nivel 2)
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Funciones
Introducción a la funciones inversas (álgebra de nivel 2)
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Introducción a las funciones inversas

Google Classroom
Aprende qué es la inversa de una función, y cómo evaluar las inversas de funciones que están dadas en tablas o gráficas.
Funciones inversas, en el sentido más general, son funciones que "revierten" una a la otra.
Por ejemplo, aquí vemos que la función f convierte 1 en x, 2 en z, y 3 en y.
Un diagrama de mapeo. El mapa está etiquetado como f. El primer óvalo contiene los valores uno, dos y tres. El segundo óvalo contiene los valores x, y, y z. Hay una flecha que empieza en uno y apunta a x. Hay una flecha que empieza en dos y apunta a z. Hay una flecha que empieza en tres y apunta a y.
La inversa de f, que se denota como f, start superscript, minus, 1, end superscript (y se lee como "f inversa"), revierte este mapeo. La función f, start superscript, minus, 1, end superscript convierte x en 1, y en 3, y z en 2.
Un diagrama de mapeo. El mapa está etiquetado como f inversa. El primer óvalo contiene los valores x, y, y z. El segundo óvalo contiene uno, dos y tres. Hay una flecha que empieza en x y apunta a uno. Hay una flecha que empieza en y y apunta a tres. Hay una flecha que empieza en z y apunta a dos.
Pregunta para reflexionar
¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
Escoge 1 respuesta:

Definir funciones inversas

En general, si una función f convierte a en b, entonces la función inversa, f, start superscript, minus, 1, end superscript, convierte b en a.
El valor a entra en la función f y se convierte en el valor B, que entra en la función f inversa y se convierte en el valor A.
Con esto tenemos la definición formal de funciones inversas:

f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a

Profundicemos más en esta definición mediante algunos ejemplos.

Ejemplo 1: diagrama de mapeo

Un diagrama de mapeo. El mapa está etiquetado como h. El primer óvalo contiene los valores cero, cuatro, seis y nueve. El segundo óvalo contiene los valores tres, siete, nueve y doce. Hay una flecha que empieza en cero y apunta a siete. Hay una flecha que empieza en cuatro y apunta a tres. Hay una flecha que empieza en seis y apunta a nueve. Hay una flecha que empieza en nueve y apunta a doce.
Supongamos que la función h está definida con el diagrama de mapeo que está arriba. ¿Qué es h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis?

Solución

Tenemos esta información acerca de la función h, y nos preguntan acerca de la función h, start superscript, minus, 1, end superscript. Puesto que las funciones inversas revierten la una a la otra, necesitamos revertir nuestro razonamiento.
Específicamente, para encontrar h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, podemos encontrar el valor de entrada de h para el cual el valor de salida es 9. Esto es así porque si h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x, entonces por la definición de inversas, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9.
A partir del diagrama de mapeo, vemos que h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9, así que h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6.

Comprueba tu comprensión

Un diagrama de mapeo. El mapa está etiquetado como g. El primer óvalo contiene los valores uno negativo, cero, tres y cinco. El segundo óvalo contiene los valores dos, tres, cuatro y ocho. Hay una flecha que empieza en uno negativo y apunta a tres. Hay una flecha que empieza en cero y apunta a cuatro. Hay una flecha que empieza en tres y apunta a ocho. Hay una flecha que empieza en cinco y apunta a dos.
Problema 1
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Ejemplo 2: gráfica

Esta es la gráfica de la función g. Encontremos g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis.
Un plano coordenado. La escala del eje x aumenta en media unidad y la escala del eje ye aumenta en una unidad. La función y igual g de x es una curva continua que empieza en tres negativo, siete negativo y aumenta lentamente hasta el punto uno negativo, cinco negativo. Entonces la gráfica aumenta más rápido a través del punto cero, cinco punto cinco negativo y uno, tres punto cinco negativo. Continúa aumentando a una tasa más rápida a través del punto dos, dos y el punto tres, diez.

Solución

Para encontrar g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, podemos encontrar el valor de entrada de g que corresponde a un valor de salida de minus, 7. Esto es así porque si g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, x, entonces por la definición de inversas, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 7.
De la gráfica, vemos que g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7.
Por lo tanto, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3.
Un plano coordenado. La escala del eje x aumenta en media unidad y la escala del eje ye aumenta en una unidad. La función y igual g de x es una curva continua que empieza en tres negativo, siete negativo y aumenta lentamente hasta el punto uno negativo, cinco negativo. Entonces la gráfica aumenta más rápido a través del punto cero, cinco punto cinco negativo y uno, tres punto cinco negativo. Continúa aumentando a una tasa más rápida a través del punto dos, dos y el punto tres, diez. Hay una recta vertical punteada en x igual a tres negativo y una recta vertical punteada en ye igual siete negativo. Estas rectas se cruzan en el punto tres negativo, siete negativo, que está graficado y etiquetado.

Comprueba tu comprensión

Un plano coordenado. La escala de los ejes X y Y aumenta en media unidad. La función y igual h de x es una recta que pasa por el punto dos negativo, cuatro, el punto cero, tres y el punto dos, dos.
Problema 2
¿Qué es h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 4, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

Problema de desafío
Dado que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 2, ¿qué es f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 7, right parenthesis?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Una conexión gráfica

Los ejemplos anteriores nos han mostrado la conexión algebraica entre una función y su inversa; pero ¡hay también una conexión gráfica!
Considera la función f, dada con la siguiente gráfica y tabla de valores.
Un plano coordenado. La escala de los ejes X y Y aumenta en una unidad. La función y igual f de x es una curva que pasa por los siguientes puntos: el punto dos negativo, un cuarto, el punto uno negativo, un medio, el punto cero, uno, el punto uno, dos y el punto dos, cuatro.
xf, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 2start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
minus, 1start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
01
12
24
Podemos revertir las entradas y salidas de f para encontrar las entradas y salidas de f, start superscript, minus, 1, end superscript. Si left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis está en la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, entonces left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis estará en la gráfica de y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis.
Con esto tenemos la gráfica y la tabla de valores de f, start superscript, minus, 1, end superscript.
Un plano coordenado. La escala de los ejes X y Y aumenta en una unidad. La función y igual f inversa de x es una curva que pasa por los siguientes puntos: el punto un cuarto, dos negativo, el punto un medio, uno negativo, el punto uno, cero, el punto dos, uno y el punto cuatro, dos.
xf, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis
start fraction, 1, divided by, 4, end fractionminus, 2
start fraction, 1, divided by, 2, end fractionminus, 1
10
21
42
Viendo ambas gráficas juntas, observamos que la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis y la gráfica de y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis son reflexiones a lo largo de la recta y, equals, x.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Hay una recta curva que representa la función y igual a f de x. La recta es la ecuación y igual a dos a la potencia de x. Hay otra recta curva que representa la función y igual a f inversa de x. La segunda recta es una reflexión de la primera recta curva sobre la recta y igual a x.
Esto es cierto en general: la gráfica de una función y de su inversa son reflexiones a lo largo de la recta y, equals, x.

Comprueba tu comprensión

Problema 3
Esta es la gráfica de y, equals, h, left parenthesis, x, right parenthesis.
Un plano coordenado. La escala de los ejes X y Y aumenta en una unidad. Hay una recta que representa la función y igual h de x. La recta pasa por los puntos cero, dos negativo y seis, cero
¿Cuál es la mejor elección para la gráfica de y, equals, h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

Problema 4
La gráfica de y, equals, h, left parenthesis, x, right parenthesis es un segmento de recta que une los puntos left parenthesis, 5, comma, 1, right parenthesis y left parenthesis, 2, comma, 7, right parenthesis.
Arrastra los extremos del segmento continuo de abajo hacia la gráfica de y, equals, h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis.

¿Por qué estudiar inversas?

Parece ser arbitrario estar interesados en funciones inversas, pero de hecho ¡las usamos todo el tiempo!
Considera que la ecuación C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis sirve para convertir la temperatura en grados Fahrenheit, F, a la temperatura en grados Celsius, C.
Pero supongamos que quisiéramos una ecuación que haga lo contrario: que convierta de temperatura en grados Celsius a temperatura en grados Fahrenheit. Eso es lo que describe a la función F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32, o sea la función inversa.
A un nivel más básico, en matemáticas resolvemos muchas ecuaciones al "aislar la variable". Cuando aislamos la variable, "deshacemos" lo que está a su alrededor. De esta manera, estamos utilizando la idea de funciones inversas para resolver ecuaciones.

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