Introducción a las funciones invertibles

Funciones inversas, en el sentido más amplio, son funciones que hacen lo "contrario" de cada una. Por ejemplo, si $f$f convierte $a$a en $b$b, entonces la inversa debe convertir $b$b en $a$a.

Considera la función finita $h$h definida en la siguiente tabla.

Podemos crear un diagrama de mapeo para la función $h$h.

Ahora vamos a invertir el mapeo para encontrar la inversa, $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript.

Observa que $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript mapea el valor $2$2 a dos diferentes valores: $1$1 y $3$3. Esto significa que $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript no es una función.

Puesto que la inversa de $h$h no es una función, decimos que $h$h es no invertible.

En general, una función es invertible solo cuando cada valor de entrada tine un valor de salida único. Es decir, cada valor de salida corresponde a exactamente un valor de entrada. De esa manera, cuando el mapeo se invierte, ¡también es una función!

He aquí un ejemplo de una función invertible $g$g. Observa que la inversa es efectivamente una función.

Considera la gráfica de la función $y=x^2$y, equals, x, squared.

Sabemos que una función es invertible si cada valor de entrada tiene un valor de salida único. En otras palabras, si cada valor de salida corresponde a exactamente un valor de entrada.

Pero este no es el caso de $y=x^2$y, equals, x, squared.

Considera el valor $4$4, por ejemplo. Observa que al trazar la línea recta $y=4$y, equals, 4, puedes ver que hay dos valores de entrada, $2$2 y $-2$minus, 2, asociados al valor de entrada $4$4.

De hecho, si deslizas la línea hacia arriba y hacia abajo, verás que ¡la mayoría de los valores de salida están asociados con dos valores de entrada! Así que la función $y=x^2$y, equals, x, squared es una función no invertible.

En contraste, considera la función $y=x^3$y, equals, x, cubed.

Si tomamos una línea recta horizontal y la deslizamos hacia arriba y hacia abajo, ¡siempre intersecta a la función en un solo punto!

Esto significa que cada valor de salida corresponde a exactamente un valor de entrada. En otras palabras, cada valor de entrada tiene un valor de salida único. La función $y=x^3$y, equals, x, cubed es invertible.

Este razonamiento describe lo que se conoce como la prueba de la línea horizontal: en general, una función $f$f es invertible si pasa la prueba de la línea horizontal.