Introducción a las funciones invertibles

Funciones inversas, en el sentido más amplio, son funciones que hacen lo "contrario" de cada una. Por ejemplo, si $f$‍ convierte $a$‍ en $b$‍, entonces la inversa debe convertir $b$‍ en $a$‍.

Considera la función finita $h$‍ definida en la siguiente tabla.

Podemos crear un diagrama de mapeo para la función $h$‍.

Ahora vamos a invertir el mapeo para encontrar la inversa, $h^{-1}$‍.

Observa que $h^{-1}$‍ mapea el valor $2$‍ a dos diferentes valores: $1$‍ y $3$‍. Esto significa que $h^{-1}$‍ no es una función.

Puesto que la inversa de $h$‍ no es una función, decimos que $h$‍ es no invertible.

En general, una función es invertible solo cuando cada valor de entrada tine un valor de salida único. Es decir, cada valor de salida corresponde a exactamente un valor de entrada. De esa manera, cuando el mapeo se invierte, ¡también es una función!

He aquí un ejemplo de una función invertible $g$‍. Observa que la inversa es efectivamente una función.

Considera la gráfica de la función $y=x^2$‍.

Sabemos que una función es invertible si cada valor de entrada tiene un valor de salida único. En otras palabras, si cada valor de salida corresponde a exactamente un valor de entrada.

Pero este no es el caso de $y=x^2$‍.

Considera el valor $4$‍, por ejemplo. Observa que al trazar la línea recta $y=4$‍, puedes ver que hay dos valores de entrada, $2$‍ y $-2$‍, asociados al valor de entrada $4$‍.

De hecho, si deslizas la línea hacia arriba y hacia abajo, verás que ¡la mayoría de los valores de salida están asociados con dos valores de entrada! Así que la función $y=x^2$‍ es una función no invertible.

En contraste, considera la función $y=x^3$‍.

Si tomamos una línea recta horizontal y la deslizamos hacia arriba y hacia abajo, ¡siempre intersecta a la función en un solo punto!

Esto significa que cada valor de salida corresponde a exactamente un valor de entrada. En otras palabras, cada valor de entrada tiene un valor de salida único. La función $y=x^3$‍ es invertible.

Este razonamiento describe lo que se conoce como la prueba de la línea horizontal: en general, una función $f$‍ es invertible si pasa la prueba de la línea horizontal.