Invertir una matriz de 3x3 mediante determinantes, parte 1: matriz de menores y de cofactores

estoy a punto de hacer una de las cosas que menos me gusta hacer a mano lo cual es invertir una matriz de 3 x 3 y bueno lo único peor que invertir una matriz de 3 por 3 a mano es invertir una matriz de 4x4 o invertir una matriz de 5 por 5 también a menos que bueno es súper útil hacerlo y hay que saber hacerlo porque con eso puedes resolver sistemas de ecuaciones entre otras cosas y hay que hacerlo por lo menos alguna vez en la vida pero lo feo es que es muchísima talacha muchísimas cuentas y lo más probable es que me equivoque sin darme cuenta a la hora de hacer una resta o algo así pero bueno realmente tenemos que hacerlo a mano para entender bien qué es lo que está pasando así es que vamos y bueno lo primero que vamos a hacer es sacar la matriz de menores que hay matriz de menores y lo voy a hacer lo más grande posible para tener mucho espacio para sacar esta matriz de menores lo que tenemos que hacer es tomar una entrada de nuestra matriz de 3 x 3 que queremos invertir esta matriz y vamos a tachar esta columna y esta fila que son la columna y la fila en la que se encuentra nuestra entrada y a lo que nos deja osea esta matriz de aquí que no siempre se ve tan bonita a veces está toda esparcida a lo largo de esta matriz a estos cuatro valores que nos deja le vamos a sacar el determinante y esa es la menor de esta matriz en esta entrada aunque hay entonces vamos a reemplazar la entrada que escogimos por la menor de esa matriz con respecto a esa entrada que hay entonces como escogimos esta entrada lo que vamos a hacer es sacar el terminante de lo que nos queda de tachar esta columna y esta fila ok o sea este determinante que es el determinante 11 45 y ahora vamos con esta otra entrada lo que hacemos es tachar la columna y la fila en la que se encuentra y nos deja esta matriz de 23 15 y sacamos el determinante esa es la menor y sustituimos esta entrada por el determinante de la matriz que nos queda a la hora de quitar estas entradas ok entonces sustituimos esta entrada por el determinante de 2 315 y ahora queremos encontrar esta entrada que es la correspondiente a esta entrada así es que tú dime que tenemos que poner aquí ya listo ok quitamos esta columna y quitamos esta fila y lo que nos queda es la matriz 2 3 14 así es que sacamos su determinante y eso va en esta entrada 23 14 muy bien vayamos a la siguiente entrada aquí que es lo que tiene que ir pues está echamos esta fila y esta columna y nos queda simplemente el determinante menos 2 245 determinante de menos 2 245 a ver a ver qué es lo que tiene que irene esta entrada pues otra vez está echando esta columna y esta fila nos queda el determinante de menos 1 2 3 y 5 - 1 2 3 y 5 y ahora nos toca sacar el de esta entrada o sea te echamos esta columna y esta fila y nos queda el determinante de menos uno menos 2 3 y 4 - 1 - 2 3 y 4 muy bien ya llevamos dos terceras partes ahora saquemos este bueno se parecen mucho este color pero te juro que estoy tratando de no repetir colores así es que como se parece tanto mejor no ponemos ese y ponemos este entonces tachamos esta columna y este renglón y nos queda esta matriz nada más ok el determinante de menos 2 2 así es que después de buscar mucho tiempo cuál color poner pues me decidí por este es que todos los demás se parecen mucho bueno ni modo ok entonces en esta entrada en lograr este 4 vamos a poner el determinante de lo que nos quede de tachar esta fila y esta columna o sea el determinante de la matriz menos 1 2 2 y 1 ok entonces menos 1 2 2 y 1 finalmente en esta entrada el determinante de menos 1 - 2 2 1 - 1 - 2 2 1 muy bien y lo que tenemos que hacer es calcular cada uno de estos determinantes para que nos quede tal cual la matriz de menores como tiene que ir con puros números ok entonces vamos a calcular cada uno de estos determinantes esta matriz de menores es igual a y bueno en realidad no tenía yo que sea una matriz está en grande porque a final de cuentas vamos a necesitar menos espacio pero pues de ánimo ya lo dije sí ok entonces primera entrada la entrada 11 de nuestra matriz de menores saquemos este determinante y como hacemos eso pues este determinante simplemente es 1 por 5 menos 1 por 4 ok que a final de cuentas es 5 menos 4 que es uno aquí es donde uno se puede equivocar muy fácilmente haciendo cuentas pero bueno aquí entonces va un 1 ahora vamos con esta entrada su determinante es 2 x 5 10 menos 1 por 3 o sea menos 310 menos 3 esto es 7 ahora vamos con este 2 por 48 menos 1 por 38 menos 3 esos son 55 y pasemos a este menos 2 por 5 eso es menos 10 y luego menos dos por cuatro esos ocho o sea menos diez menos ocho eso es menos diez más menos ocho o sea menos dieciocho menos 18 ok ahora vamos con este menos uno por cinco eso es menos cinco menos dos por tres o sea que tenemos menos cinco menos seis o sea menos 11 menos 11 menos 1 por 4 menos 4 2 - 2 x 3 eso es menos menos 6 o sea menos 4 - menos 6 menos 46 o sea 2 y finalmente nuestra última fila ya me lo vamos a terminar menos 2 x 1 - 2 - 2 x 1 o sea menos 2 - 2 eso es menos 4 menos 4 y ahora menos uno por uno menos uno menos dos por 2 4 o sea menos uno menos cuatro menos cinco menos cinco y finalmente con este color que no está tan bien porque no se ve bien menos uno por uno eso es menos uno y luego menos menos dos por dos o sea menos dos por dos es menos cuatro y aquí tenemos menos uno menos menos cuatro o sea menos uno más cuatro y esos son tres muy bien esta es nuestra verdadera matriz de menores y para encontrar la inversa de esta matriz ya nada más nos faltan unos poquitos pasos el primero de ellos es muy importante y es que hay que cambiarle los signos a esta matriz de menores ok y para eso vamos a usar una matriz que se parece al de un tablero de ajedrez ok que empezamos en un más después va como esto es una matriz de tres por tres nada más vamos a hacerla de tres por tres ok y después de un más va a un menos y después otra vez un más y por aquí como aquí tenemos un más pues aquí tienen que haber un menos - más menos más se nota porque digo que se parece a un tablero de ajedrez no y entonces a las entradas que tengan un menos vamos a multiplicar las x menos 1 ok y ya con eso vamos a obtener nuestra matriz de cofactores matriz de cofactores ok y para obtener esta matriz de cofactores lo que hacemos es tomar esta otra matriz la matriz de menores y multiplicar las x menos 1 cuando tenemos un menos en esta matriz en este tablero de ajedrez y bueno cuando tiene un más pues podemos pensar que están multiplicando por unas 1 que no le hace absolutamente nada a la entrada ok entonces uno por digamos el símbolo de más es multiplicar uno por uno y eso nos deja un 1 después 7 por aquí tenemos un menos o sea tenemos que multiplicar por menos 1 y eso es menos 7 menos 7 x 5 y aquí tenemos un más o sea que dejamos el 5 tal cual como usted menos 18 pero aquí tenemos un menos entonces qué número va aquí va un 10 y 8 ahora menos 11 pero aquí tenemos un símbolo demás entonces nos va a quedar por aquí menos 2 y aquí tenemos símbolo de menos o sea que aquí nos queda menos 2 menos cuatro y tenemos un símbolo de más o sea que nos queda menos 4 y aquí tenemos un símbolo de menos o sea que tenemos menos 5 x menos uno o sea un 5 y finalmente un 3 y tenemos un símbolo de más o sea que nos queda nada más 3 entonces esta es nuestra matriz de cofactores entonces ya llevamos un muy buen tramo del camino de encontrar la inversa de esta matriz ok ya encontramos la matriz de cofactores así es que ya lo único que nos falta es encontrar el determinante de esta matriz y multiplicarlo por la transporta de la matriz de cofactores