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Invertir una matriz de 3x3 mediante eliminación Gaussiana

Transcripción del video

ahora vamos a ver mi forma favorita para invertir matrices y bueno no te enseñe esta forma desde el principio porque en la clase de álgebra yo me acuerdo que te enseñan la otra forma primero y a veces ni siquiera te enseñan está pero a mí me gusta muchísimo más está porque es más difícil equivocarse haciendo errores de cuentas y todo eso es mucho más rápido y van a ver que está bien bonito pero bueno así y no te voy a enseñar porque funciona desde el principio siempre en matemáticas es súper importante saber por qué funcionan las cosas que es la maquinaria que está detrás de todo lo que hacemos pero en este caso en particular te voy a enseñar primero cómo se hacen las cosas y después en algún otro video te va a enseñar porque funciona lo que estamos haciendo porque es muchísimo más sencillo en este caso en particular no siempre generalmente es al revés pero en este caso es muchísimo más fácil saber exactamente qué pasó se tienen que seguir y poder hacerlo perfectamente para invertir matrices y después entender y conocer perfectamente porque funcionan esos pasos pero bueno vamos a empezar vamos a usar exactamente la misma matriz del video pasado la cual era la matriz 1 0 1 0 2 1 y 111 y lo que vamos a hacer es la eliminación de gaos orden que va a sonar un poquito como vudú o sea o sea tal vez no va a ser nada claro porque funciona pero más adelante vas a ver vídeos que explican perfectamente porque funciona y además es súper útil y súper fácil y súper bonito que hay entonces lo que hacemos en la eliminación de caucho orden es que aumentamos esta matriz y bueno a mí sí me gusta ponerle una línea que divide a la matriz original de lo que yo le voy a aumentar de este lado pero no todas las personas le ponen esa línea entonces de este lado del lado izquierdo de nuestra raya vamos a dejar la matriz tal cual como estaba tal como nos la dieron la matriz de la cual queremos encontrar la matriz inversa y del lado derecho vamos a poner una matriz identidad del mismo tamaño que la matriz que tenemos aquí a la izquierda key esta es la matriz identidad de tres por tres porque tenemos una matriz de 3 x 3 entonces necesitamos la matriz de 3 x 3 y lo que vamos a hacer es una serie de operaciones elementales de fila y estoy a punto de decir te cuáles son las operaciones elementales de fila válidas para hacer la eliminación de caos y orden pero bueno vamos a hacer estas operaciones elementales de fila a toda la fila ok vamos a estar pensando nada más en esta matriz pero cada que le hagamos una operación alguna de estas filas de esta matriz vamos a hacerle exactamente lo mismo a esta matriz y acá hay como si ésta estuviera copiando cada uno de sus movimientos a esta matriz y el chiste la meta lo que vamos a tratar de hacer nosotros es hacer que esta matriz se vuelva la matriz identidad y lo que nos va a quedar de este lado una vez que hagamos que esta matriz e a la matriz identidad si realmente seguimos al pie de la letra cada uno de los movimientos que hacemos en esta matriz cuando aquí haya una matriz identidad de este lado lo que vamos a tener es la matriz inversa de la matriz que teníamos originalmente en este lado entonces tal cual lo que hacemos es con esta matriz imitar los movimientos que hagamos en esta matriz y hacer los movimientos necesarios como para que en esta matriz hay apuros unos en la diagonal y ceros en el resto de las entradas o sea la matriz identidad usando únicamente las operaciones elementales de pila válidas que habitaban saber cuáles son bueno para empezar una de las operaciones elementales de fila que sí podemos hacer es tal cual tomar una de estas pilas recuerda que tenemos que tomar toda la fila para que esta matriz esté invitando a esta matriz y en multiplicar toda la fila por una constante de hecho podemos pensar en que tomamos la fila y la reemplazamos por esta misma fila multa cada por esta constante también por tomar cualesquiera de estas dos filas e intercambiarlas del lugar sea por ejemplo puede tomar esta fila y esta fil e intercambiarlas del lugar o sea tomar toda la fila morada y ponerla como si fuera la primera fila en el lugar de la verde y tomarla y la verde y ponerla en el segundo lugar o sea en lugar de la fila morada pero que no se te olvide que tienes que mover toda la fila aunque siempre es muy común que se nos olvide mover a estos numeritos de acá y eso es algo que no nos tiene que pasar porque arruinamos el proceso y la última operación que nos falta es tomar toda una fila le irrespetó dársela a otra de las filas o lo que es lo mismo a agarrar una pila y reemplazarla por esa fila - alguna otra de las pilas o más alguna otra de las filas bien entonces ya tenemos nuestra lista de operaciones de pila elementales entonces ya estamos listos ya tenemos todas las herramientas para tratar de transformar esta parte de la matriz en la matriz identidad y bueno para usar los términos correctos aunque estén complicados y rebuscados y todo eso eso de transformar esta matriz en la matriz identidad o tratar lo mejor que podamos de transformarla en la matriz identidad es a lo que formalmente le llamamos transformar esta matriz a su forma escalonada reducida por filas entonces ahora sí vamos si ésta fuera o la matriz identidad aquí tendría que haber un cero no entonces vamos a empezar por convertir esto en un cero y cómo vamos a hacer eso pues a mí se me ocurre que vamos a usar la operación elemental que agarra a esta primera fila y se le arresta a esta última fila que vamos a reemplazar esta última fila por esta fila - la primera fila y bueno esta operación no le está haciendo absolutamente nada a las primeras dos filas entonces pues vamos a empezar por escribir las 1 01 10 00 a 21 00 y ahora sí la verdad la verdad lo que queremos es que haya un 0 0 1 pero pues vamos a empezar por hacer que aquí haya un 0 entonces tomamos esta pila y le restamos esta fila y entonces lo que nos queda es 1 - 1 eso sí es un cero que es lo que queríamos 1 - 0 eso es un 11 menos uno es un cero ok ahora muy importante que no se nos olvide a esta otra parte también le tenemos que respetar esta parte y entonces 0 - 1 eso es menos 10 -0 01 - 01 listo ya realizamos nuestra primera operación elemental de fila y aquí estas tres entradas se ven súper parecidas a lo que nosotros necesitamos que haya en la segunda fila no sé por qué queremos hacer que esta matriz sea la matriz identidad o sea igualita esta cosa de aquí y aquí ya tenemos una de las filas no ya tenemos el 010 entonces lo que vamos a hacer ahora es intercambiar estas dos filas del lugar para que nos queda en la segunda fila tal cual lo que ya tenemos que entonces pues vamos a hacer eso esta es otra de las operaciones elementales de fila que sí podemos hacer que la primera fila dejando tal cual es 10 11 00 ahora entonces estamos cambiando al segundo lugar a esta fila y estamos poniendo y estamos poniendo hasta abajo a esta pila entonces en la segunda fila tenemos 010 menos 101 y hasta abajo en la tercera fila pues tenemos lo que antes estaba en la segunda fila no entonces tenemos cero 2 1 0 1 0 a que ésta fue otra de nuestras operaciones elementales pero todavía no hemos terminado o sea aquí necesitamos que haya una matriz identidad entonces pues ahora necesitamos poner un cero en este lugar y en este lugar entonces así y haciendo que haya un cero por acá y para hacer eso lo más fácil es tomar esta fila la fila verde agua y restarle dos veces la y la morada esta fila entonces nosotros vamos a multiplicar toda la fila por un escalar el escalar dos y restarse lo a esta fila entonces aquí tenemos 0 - 2 x 0 gay y eso es 0 - 0 o sea 0 y después tenemos dos menos dos por uno o sea 2 - 2 eso es cero también y luego un 1 - 2 por 0 1 - 0 esto es un 1 y qué maravilla ya tenemos aquí otra pila tal cual como lo tenemos que poner entonces ya tenemos estas dos filas tal cual como tienen que estar ya nada más nos falta arreglar este detalle y que no se me olvide que aquí en el resto de esta pila también tuvo que restar dos veces esta fila y entonces 0 - 2 por este valor sea 0 - 2 x - 1 - 1 que aquí esté menos con el que menos se va a cancelar y nos va a quedar un 2 entonces aquí va un 21 menos dos por cero eso es 10 - 2 por 1 0 - 2 - 2 y listo pero todavía nos falta esta entrada y para arreglar esta entrada para hacer que esta entrada sea cero para que ahora sí hayamos reducido esta matriz a su forma escalonada reducido por filas o sea que lo hayamos convertido a lo más parecido que podamos a la matriz identidad vamos a tomar esta pila y le vamos a restar una vez esta pila entonces esta fila menos una vez esta fila 1 - 0 10 -0 01 - 10 que es justo lo que queríamos 1 - 2 eso es menos 1 - 1 0 - 1 eso es menos 10 - - 23 12 y ahora si estas dos pilas ya están tal cual como tiene que estar y listo ya está ya logramos reducir la matriz izquierda a la matriz identidad haciendo un montón de operaciones de pila elementales que hay entonces esta es la matriz identidad bueno pero ya ahora qué demonios es esto que está por acá bueno pues resulta en que si a esta matriz con la que empezamos la matriz original llevamos la matriz a hicimos todo lo que teníamos que ser muy bien entonces esta matriz de por acá es la matriz inversa está maravilloso no y nos damos la mitad del tiempo que no estábamos usando el otro método que se va la matriz de ccoo factores y la matriz adjunta y el determinante y todo se desmadre o sea fue mucho más rápido hicimos cuentas muchísimo menos complicadas o sea aquí yo siento que uno se equivoca muchísimo menos haciendo las cuentas y bueno eso de por qué funciona pues te voy a dar una idea de por qué funciona justo ahorita resulta que cada una de estas operaciones de pila elementales tienen su propia matriz matrices que les llaman matrices elementales que hacen que por ejemplo llegar a una matriz y las multiplicadas por esta matriz elemental entonces eso es igual a por ejemplo intercambiar dos filas del lugar o tomar una pila y restarse la otra pila o tomar una pila y multiplicarla por un escalar ok para cada una de esas operaciones elementales de pila existe una matriz que si multiplicamos cualquiera matriz por esa matriz entonces se cambian las filas del lugar o se hace alguna de esas operaciones de pila elementales pero bueno el chiste en este vídeo no es enseñarles cuáles son esas matrices elementales eso tal vez lo veamos en algún vídeo más adelante entonces en este proceso de convertir esta matriz en la matriz identidad lo que hicimos como hicimos puras operaciones elementales fue tomar por ejemplo la matriz y multiplicarla para pasar de aquí acá la multiplicamos por llamémosle no sé uno a la matriz elemental qué hace que a la tercera y la le restemos la primera fila no y después para pasar de aquí acá lo que hicimos puede multiplicar por otra matriz elemental pues no sé podríamos llamarlo por ejemplo s2 esta matriz lo que hace es intercambiar la segunda pila con la tercera fila y después multiplicamos a todo este producto que teníamos ya por otra matriz que lo que hacía es a esta fila a la tercera y la restarle dos veces la segunda fila 3 es esa matriz y finalmente multiplicamos por la última matriz elemental que a la primera fila le resta una vez la tercera fila y así obtuvimos la matriz identidad y entonces a por uno por ese dos por tres por el 4 esta multiplicación de matrices resultó ser la matriz identidad pero como ya hemos visto sí una matriz la multiplicamos por otra matriz y nos da la matriz identidad entonces esa matriz que en este caso es toda esta multiplicación de matrices juntas esa matriz resulta ser la matriz inversa la matriz al menos uno que hay entonces ya tenemos que la multiplicación de uno por ese dos por tres por el 4 es a inversa ahora qué es lo que pasa aquí pues que tenemos a la matriz a y estamos separando la por una raya de la matriz identidad gay pero a esta matriz identidad a esta matriz hicimos exactamente las mismas operaciones de pila que a la matriz a o sea para pasar de aquí acá también le restamos la primera fila a la tercera fila entonces también a esta matriz identidad la multiplicamos por la matriz elemental e uno por uno y después también cambiamos de lugar estas dos filas que yo sé que también la multiplicamos por ese 2 y lo hicimos todos los mismos cambios que la matriz a qué hay entonces aquí les tuvimos multiplicando por las mismas matrices elementales pero si esto resulta ser la matriz a la inversa a la hora de multiplicarlo por la matriz identidad pues lo que nos queda es simplemente la matriz inversa la matriz a inversa está muy bonito no y además estuvo súper sencillo bueno nos vemos en el próximo video