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Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 20

Lección 3: Operaciones elementales en los renglones de una matriz
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Matrices
Operaciones elementales en los renglones de una matriz
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Operaciones en renglones de matrices

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Aprende a realizar las operaciones elementales en renglones de matrices. Estas operaciones también nos permitirán resolver sistemas lineales complicados, ¡con (relativamente) poco esfuerzo!

Operaciones con renglones de matrices

La siguiente tabla resume las tres operaciones elementales con renglones de matrices.
Operación con renglonesEjemplo
Intercambia dos renglones cualesquiera[253346]→[346253]  (Intercambia el renglón 1 y el renglón 2).
Multiplica un renglón por una constante diferente de cero[253346]→[3⋅23⋅53⋅3346] (El renglón 1 se multiplica 3 veces por sí mismo.)
Suma un renglón con otro[253346]→[2533+24+56+3]  (El renglón 2 se convierte en la suma del renglón 2 y 1.)
Las operaciones de renglones de matrices se pueden usar para resolver sistemas de ecuaciones, pero antes de ver por qué, practiquemos estas habilidades.

Intercambia cualesquiera dos renglones

Ejemplo

Realiza la operación de renglones R1↔R2 sobre la siguiente matriz.
[483245712]

Solución

R1↔R2 significa intercambiar el renglón 1 y el renglón 2.
Así que la matriz [483245712] se vuelve [245483712].
Algunas veces verás que se usa la siguiente notación para indicar este cambio.
[483245712]→R1↔R2[245483712]
Observa cómo el renglón 1 reemplaza al renglón 2 y el renglón 2 reemplaza al renglón 1. El tercer renglón no cambió.
Problema 1
Realiza la operación de renglón R2↔R3 en la siguiente matriz.
[7296411312]

Multiplica un renglón por una constante diferente de cero

Ejemplo

Realiza la operación de renglones 3R2→R2 sobre la siguiente matriz.
[661230459]

Solución

3R2→R2 significa reemplazar el 2do renglón con 3 veces él mismo.
[661230459] se vuelve [6613⋅23⋅33⋅0459]=[661690459]
Para indicar esta operación de renglón, a menudo vemos lo siguiente:
[661230459]→3R2→R2[661690459]
Observa que aquí el segundo renglón multiplicado por tres reemplaza al segundo renglón. Los otros renglones permanecen iguales.
Problema 3
Realiza la operación de renglón 2R1→R1 en la siguiente matriz.
[26517480]

Suma un renglón con otro

Ejemplo

Realiza la operación de renglones R1+R2→R2 sobre la siguiente matriz.
[234081]

Solución

R1+R2→R2 significa reemplazar el 2do renglón con la suma del 1ro y 2do renglones.
[234081] se vuelve [2342+03+84+1]=[2342115]
Para indicar esta operación de renglón, podemos escribir lo siguiente:
[234081]→R1+R2→R2[2342115]
Observa cómo la suma del renglón 1 y 2 reemplaza al renglón 2. El otro renglón permanece igual.
Problema 5
Realiza la operación de renglón R1+R3→R3 en la siguiente matriz.
[−16−2−350721]

Problema de desafío
Realiza la operación de renglón R1+2R3→R1 en la siguiente matriz.
[−573−2−1488−6]

Sistemas de ecuaciones y operaciones con renglones de matrices

Recuerda que en una matriz aumentada, cada renglon representa una ecuación en el sistema y cada columna representa una variable o los términos constantes.
Por ejemplo, el sistema a la izquierda corresponde a la matriz aumentada a la derecha.
SistemaMatriz
1x+3y=52x+5y=6[135256]
Cuando se trabaja con matrices aumentadas, podemos realizar cualquiera de las operaciones de renglón para crear una nueva matriz aumentada que produzca un sistema de ecuaciones equivalentes. Veamos por qué.

Intercambiar cualesquiera dos renglones

Sistemas equivalentesMatriz aumentada
1x+3y=52x+5y=6[135256]
↓
2x+5y=61x+3y=5[256135]
Los dos sistemas en la tabla anterior son equivalentes, porque el orden de las ecuaciones no importa. Esto significa que cuando se usa una matriz aumentada para resolver un sistema, podemos intercambiar cualesquiera dos renglones.

Multiplica un renglón por una constante diferente de cero

Podemos multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma constante distinta de cero para obtener un ecuación equivalente.
Al resolver sistemas de ecuaciones, hacemos esto con frecuencia para eliminar una variable. Como las dos ecuaciones son equivalentes, vemos que los dos sistemas también son equivalentes.
Sistemas equivalentesMatriz aumentada
1x+3y=52x+5y=6[135256]
↓
−2x+(−6)y=−102x+(−)5y=6[−2−6−10256]
Esto significa que cuando se usa una matriz aumentada para resolver un sistema, podemos multiplica cualquier renglón por una constante diferente de cero.

Suma un renglón con otro

Sabemos que podemos sumar dos cantidades iguales a ambos lados de una ecuación para obtener una ecuación equivalente.
Así que si A=B y C=D, entonces A+C=B+D.
Hacemos esto con frecuencia cuando resolvemos sistemas de ecuaciones. Por ejemplo, en este sistema −2x−6y=−102x+5y=6, podemos sumar las ecuaciones para obtener −y=−4.
Al emparejar esta nueva ecuación con alguna de las ecuaciones originales creamos un sistema de ecuaciones equivalente.
Sistemas equivalentesMatriz aumentada
−2x−6y=−102x+5y=6[−2−6−10256]
↓
−2x+(−6)y=−100x+(−1)y=−4[−2−6−100−1−4]
Así que cuando usemos una matriz aumentada para resolver un sistema, podemos sumar un renglón a otro.
Problema de desafío para terminar
Una secuencia de operaciones con renglones se realiza en la matriz [2210−2−33]. La siguiente tabla describe el resultado de cada paso en la secuencia.
Organiza las operaciones de renglones de acuerdo con cada paso.
Matriz original: [2210−2−33]
1

Observa que la matriz original corresponde a 2x+2y=10−2x−3y=3, mientras que la matriz final corresponde a x=18y=−13 lo cual simplemente da la solución.
¡El sistema se resolvió por completo usando matrices aumentadas y operaciones de renglones!

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