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Introducción a las inversas de matrices

Transcripción del video

ya hemos aprendido acerca de zuma de matrices resta de matrices multiplicación de matrices por lo que quizás estés preguntando si hay un equivalente a la división de matrices pero antes de que veamos eso reducía algunos conceptos y después veremos que hay algo parecido no es exactamente pero es análogo a la división de matrices así que antes de que hagamos eso voy a introducir el concepto de la matriz identidad así que la matriz identidad es una matriz puede notar por la letra i mayúscula y es una matriz tal que cuando ya lo multiplicó por otra matriz digamos la matriz a y no sé si debo usar este punto aquí pero bueno cuando multiplicó la matriz ciencia por la matriz a obtengo la misma matriz a de la misma manera si multiplicó a por la matriz y también voy a obtener la misma matriz y es importante darnos cuenta que cuando hacemos multiplicación de matrices importa el orden de hecho aquí te estoy dando más información no podemos suponer como pasaba en la multiplicación regular que cuando multiplicamos a por de es siempre igual a multiplicar ve ahora es importante cuando estamos haciendo multiplicación de matrices verificar qué importa el orden en el cual estamos haciendo la multiplicación en fin estoy aquí funciona en ambos sentidos sólo si estamos tratando sólo si estamos tratando con matrices cuadradas esto a funcionar en un sentido o en otro si esta matriz la escuadra pero no va a funcionar en ambos y puede recordar por qué pasa eso de cuando aprendimos multiplicación de matrices en fin que definió esta matriz ahora bien en qué consiste esta matriz de hecho es bastante simple por ejemplo la matriz identidad de dos por dos es la matriz qué consiste 1001 la matriz identidad de tres por tres es la matriz 1 0 0 0 1 0 0 0 1 aquí estamos viendo un patrón que creemos la matriz identidad de cuatro por cuatro ésta es 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 como puedes ver la matriz identidad lo que es para cualquier n esto lo puedes extender para cualquier matriz de 'por n consiste de unos a lo largo de ésta que es la diagonal principal y los demás elementos son cero así que una vez dicho esto lo vemos que esto realmente funciona tomemos esta matriz y vamos a multiplicar la por cualquier otra matriz para confirmar que esa matriz no cambia tomemos entonces la matriz 1001 tomemos una matriz en general para que veamos que funciona para cualesquiera números a b c d y esto a que es igual vamos a multiplicar el dinero esté este renglón por esta columna uno por a +0 porsche es igual a luego este renglón por esta columna uno por de +0 por de desigual la b luego este renglón por esta columna 0 por a +1 porsche es igual hace finalmente este renglón por esta columna 0 por ve más uno por de es igual a de ahí lo tenemos y puede ser un ejercicio divertido hacerlo en el otro sentido de hecho un mejor ejercicio es probar esto para una matriz de 3 x 3 verás que también funciona y un muy buen ejercicio para ti es pensar por qué esto es así y si te fijas bien es porque estás obteniendo la información del renglón de aquí la información de la columna de aquí básicamente cada que multiplica sigamos este vector por este vector de aquí están multiplicando los términos correspondientes y después los está sumando correcto aquí tenemos un 1 y un 0 0 cancela todo excepto el primer término el vector columna por eso aquí no resulta también aquí cancela todo excepto el primer término el vector columna por lo cual resulta lo mismo aquí pero en este caso sólo dejar el segundo término por eso resulta aquí se gestó por esto es igual hace y esto por esto es igual a de y lo mismo aplica para matrices de tres por tres o matrices dn por esto las matrices inversas es realmente interesante completamos nuestra analogía pensemos en esto en matemáticas normalmente tenemos que uno ahora es igual a y también que uno entre a ahora y esto es matemáticas normal nada que ver con matrices esto es igual a uno y cómo sabes llamamos a éste el inverso de a que lo mismo que está dividiendo entre el número a entonces existe una analogía en matrices déjame cambiar de color estado usando mucho el color verde existe entonces una matriz una matriz que siguió la multiplicó por la matriz a llamemos de la inversa de a la cual siguió la multiplicó por la matriz a obtengamos no el número uno sino el equivalente en matrices que es la matriz identidad y estaría perfecto si pudiéramos invertir el orden del producto es decir se multiplicó a por la inversa de a obtenga también la matriz identidad si lo piensas bien si ambas de éstas se cumplen entonces no tan sólo a inversa es inversa dea sino que a es inversa de la inversa lo que quiero decir es que ambas son inversas mutuamente y resulta que sí existe esa matriz se llama la matriz inversa dea como ya lo he mencionado tres veces y ahora te voy a mostrar cómo calcular la hagamos eso y nos daremos cuenta que calcularlo para matrices de dos por dos es bastante simple aunque quizás pienses que es un poco misterioso en cómo la gente llegó a la mecánica del cálculo o el algoritmo de esto tres por tres es un poquito más complicado 4x4 te llevará todo el día y una de cinco por cinco definitivamente va sin incurrir en muchos errores si lo haces a mano lo aconsejable es calcular inversas de cinco por cinco en una computadora en fin cómo calculamos la inversa una matriz hagamos eso y después verifiquemos que realmente la inversa entonces si tenemos una matriz a dada por a b c y d y quiero calcularse inversa su inversa va a ser y ahorita por lo pronto te va a parecer como que sacada de la manga en futuros videos te va a dar un poco de la inclusión acerca de esto de hecho te mostraré cómo se obtiene por lo pronto lo mejor será que memorice los pasos para que así tengan la confianza de saber cómo puedes calcular un inversa esto es igual a 1 sobre el producto de estos números a por de menos de porsche a d - bc y esta cantidad de aquí a de - bc vamos a aprender bueno de hecho de una vez podemos mencionar que se llama el determinante de la matriz a y esto lo vamos a multiplicar es una escala es un número no vamos a multiplicar por la matriz que resulta vamos a intercambiar a y de los elementos de la aduana principal sería de iu a éstos los números de la parte inferior izquierda de la parte superior derecha les vamos a cambiar el signo nos quedaría - c y menos y el determinante y de nueva cuenta este sã lo que vas a tener que creerme por el momento en futuros videos te prometo explicar temas en torno a estos hechos un poco complicado explicar cómo se construyen determinante en las clases de prepa tec bien que las prendas de memoria eso es algo con lo que yo no estoy de acuerdo entonces qué es esto esto también se llama el determinante de a quizás te lo pueden preguntar un examen y se denota de manera similar a como dé notamos el valor absoluto esto es determinante dea y es igual a a d - bc así que aquí tenemos uno sobre el determinante a por lo cual la inversa de a es igual a 1 sobre determinante de a que multiplica la matriz cuyos elementos son de menos ve - s a como quiera que lo veas pero apliquemos es un problema real para que veas que no es tan difícil cambiamos letras para que sepas que no siempre tiene que ser una digamos que sea la matriz ve igual a digamos 3 estoy tomando números al azar menos 425 calculemos entonces la inversa debe a la inversa debe está dada por uno sobre determinante debe que es 3 por menos cinco menos dos por -4 3 por -5 es menos 15 y 2 por -4 es menos 80 al restar lo obtenemos más 8 y esto x esto lo vamos a multiplicar por la matriz cuyos elementos son intercambiamos los elementos de la diagonal principal sería menos 5 3 y luego cambiamos el signo a estos elementos menos 24 era menos cuatro cambiado el signo es cuatro veamos si podemos simplificar es un poco la inversa debe va a ser igual -15 +8 es menos siete entonces esto resulta menos uno sobre siete el determinantes -7 vamos a ponerlo por aquí el determinante debe es igual a menos 7 así que esto es igual a menos un séptimo que multiplica a -5 4 - 23 y esto es igual a menos un séptimo es un escalar podemos multiplicar por cada uno de los segmentos de la matriz entonces va a ser igual a menos cinco por menos un séptimo sería cinco séptimos - un séptimo por 4 - cuatro séptimos menos dos por menos un séptimo sería 2 sep timos y finalmente - su séptimo por 3 - 3 séptimos está un poco peliaguda esta matriz acabamos con fracciones y cosas así pero confirmamos que está realmente es la inversa de la matriz b hagamos la multiplicación para eso voy a necesitar un poco de espacio por acá borrar esto vemos acá también damos espacio estoy aquí tampoco lo va a necesitar perfecto estamos listos confirmamos que esto multiplicado por esto o esto x estoy acá resulta en la matriz identidad hagamos lo va a cambiar de color de inversa es vamos a ponerla por aquí cinco séptimos espero que no haya hecho errores menos cuatro séptimos dos séptimos y -3 séptimos es el inversor debe multiplicarla por b que es 3 - 42 menos cinco y eso es igual la vamos a ponerla por acá necesito espacio para hacer mis cálculos déjame cambiar color nuevamente pues vamos a multiplicar este renglón por esta columna es que tenemos cinco séptimos por 33 por cinco séptimos es 15 séptimos más menos 4 séptimos por 2 - cuatro séptimos por 12 es menos déjame asegurarme de esto cinco séptimos por 315 séptimos los cuatro céntimos por el chelsea está correcto entonces sería menos cuatro séptimos por 2 4 céntimos por dos es menos ocho séptimos aunque sí está perfecto pero vamos a multiplicar este renglón por esta columna de acá que tenemos aquí cinco séptimos por -4 es menos 20 séptimos y lo menos cuatro séptimos por menos cinco que tenemos aquí sería 20 séptimos positivo entonces tenemos que sumarle 20 sept y voz más 20 séptimos mi mente se ha alentado un poco haciendo multiplicaciones con fracciones y números negativos pero éste es muy buen ejercicio para varias partes del cerebro fin hagamos este término de aquí vamos a multiplicar entonces este renglón por esta columna dos séptimos por 36 cpti voz más menos 3 séptimos por dos