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Contenido principal

Las matrices como transformaciones

Aprende cómo las matrices de 2x2 actúan como transformaciones del plano.

Introducción

Si pensamos en una matriz como una transformación del espacio, tendremos una mejor comprensión de las operaciones matriciales. Este punto de vista nos ayudará a entender la forma en que se definen operaciones matriciales como la multiplicación, y nos dará una buena excusa para dibujar bonitas figuras. Este material se acerca al álgebra lineal (a menudo un tema universitario).

La multiplicación como una transformación

La idea de una "transformación" te puede parecer al principio más complicada de lo que en realidad es, así que antes de sumergirnos en cómo las matrices de 2×2 transforman el espacio bidimensional, o cómo las matrices de 3×3 transforman el espacio tridimensional, revisemos cómo es que simples números (alias matrices de 1×1) pueden ser pensados como transformaciones del espacio unidimensional.
El espacio "unidimensional" es simplemente la recta numérica.
¿Qué pasa cuando multiplicas cada número en la recta numérica por un valor particular, como el número 2? Una manera de visualizarlo es la siguiente:
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Mantenemos una copia de la recta original como referencia, y deslizamos cada número en la línea 2 veces su valor.
Del mismo modo, multiplicar por 12 podría visualizarse así:
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Y para que los números negativos no se sientan abandonados, aquí está la multiplicación por 3:
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Para aquellos de ustedes aficionados a la terminología elegante, estas acciones animadas pueden ser descritas como "transformaciones lineales del espacio unidimensional". La palabra "transformación" significa lo mismo que "función": algo que toma un número y devuelve otro, como f(x)=2x. Sin embargo, mientras que típicamente visualizamos las funciones con sus gráficas, usamos la palabra "transformación" para indicar que debemos visualizar algún objeto que se mueve, estira, aplasta, etcétera. Así que la función f(x)=2x vista como una transformación nos da el video de "multiplicación por 2" mostrado arriba, donde el punto 1 de la recta numérica se mueve a donde empieza el punto 2, el punto 2 se mueve a donde empieza el punto 4, y así sucesivamente.
Antes de movernos al espacio bidimensional, hay un simple pero importante hecho que debemos tener en mente. Supón que observas una de estas transformaciones, sabiendo que es la multiplicación por algún número, pero no conoces su valor, como en este ejemplo:
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Puedes determinar fácilmente el número por el cual se multiplica la recta si sigues el 1. En este caso, el 1 termina donde estaba el 3, así que puedes decir que la animación representa multiplicación por 3.

¿Cómo se ven las transformaciones lineales en dos dimensiones?

Una transformación lineal en dos dimensiones es un caso especial de función que toma un vector bidimensional [xy] y devuelve otro. Como antes, nuestro uso de la palabra "transformación" indica que debemos pensar en algo que se estira o aplasta, que en este caso es el espacio bidimensional. Aquí podemos ver algunos ejemplos:
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Para nuestros propósitos, lo que hace lineal a una transformación es el siguiente par de reglas geométricas: el origen debe permanecer fijo, y todas las lineas rectas deben mantenerse rectas. Las transformaciones vistas hasta ahora son lineales, pero las siguientes no:
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Algo salió mal.
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Seguir vectores específicos durante una transformación

Imagina que estás viendo una transformación particular, como esta:
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¿Cómo podrías describírsela a un amigo que no está viendo la misma animación? Ya no podrías describirla usando un solo número como hacíamos al seguir al número 1 en el caso unidimensional. Para ayudarnos a mantener registro de todo, pongamos una flecha verde sobre el vector [10], una flecha roja sobre el vector [01], y mantengamos una copia de la malla fija en el fondo.
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Ahora es mucho más fácil ver dónde terminan las cosas. Por ejemplo, observa la animación otra vez, y concéntrate en el vector [11]. Podemos seguirlo más fácilmente y darnos cuenta de que termina en el vector [42].
Una forma de representar este hecho es con la siguiente notación:
[11][42]
Problema de práctica: ¿dónde termina el punto [10] después de que el plano ha sufrido la transformación mostrada en el video de arriba?
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Problema de práctica: aún cuando se ha salido de la pantalla, ¿puedes predecir dónde termina el punto [30]?
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Observa que un vector como [20], que empieza siendo 2 veces la flecha verde, continúa siendo 2 veces la flecha verde después de la transformación. Dado que la flecha verde termina en [12], deducimos que
[20]2[12]=[24].
Y, en general,
[x0]=x[10]x[12]=[x2x]
Del mismo modo, el destino de todo el eje y está determinado por el lugar en el que termina la flecha roja [01] que, para esta transformación, es [30].
Problema de práctica: después de que el plano ha sufrido la transformación ilustrada arriba, ¿dónde termina el punto [0y]?
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De hecho, ya que sabemos dónde terminan [10] y [01], podemos deducir a dónde debe ir cada punto en el plano. Por ejemplo, sigamos al punto [12] en nuestra animación:
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Empieza en 1 veces la flecha verde más 2 veces la flecha roja, pero también termina en 1 veces la flecha verde más 2 veces la flecha roja, que después de la transformación significa
1[12]+2[30]=[52]
Esta capacidad de separar un vector en términos de sus componentes antes y después de la transformación es la que hace que las transformaciones lineales sean tan especiales.
Problema de práctica: usa la misma táctica para calcular dónde termina el vector [11].
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Representar transformaciones lineales en dos dimensiones con matrices

En general, dado que cada vector [xy] puede ser separado como
[xy]=x[10]+y[01]
Si la flecha verde [10] termina en algún vector [ac], y la flecha roja [01] termina en algún vector [bd], entonces el vector [xy] debe terminar en
x[ac]+y[bd]=[ax+bycx+dy]
Una manera muy linda de describir todo esto es representar la transformación lineal dada con la matriz
A=[abcd]
donde la primera columna nos dice en qué lugar termina [10], y la segunda columna nos dice dónde termina [01]. Ahora podemos describir el destino de cualquier vector v=[xy] de forma muy compacta como el producto matriz-vector
Av=[ax+bycx+dy]
De hecho, de aquí surge la definición del producto de una matriz con un vector.
Así que de la misma manera en que las transformaciones unidimensionales pueden ser descritas como multiplicaciones por algún número, es decir, aquel número en el que termina 1, las transformaciones lineales en dos dimensiones siempre pueden ser descritas por una matriz de 2×2, es decir, aquella en la que la primera columna indica a donde va a parar [10] y en la que la segunda columna indica el destino de [01].

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