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Contenido principal

Propiedades de la multiplicación de matrices por escalares

Aprende las propiedades de la multiplicación de matrices por escalares (como la propiedad distributiva) y cómo se relacionan con la multiplicación de números reales.
En la tabla siguiente, A y B son matrices de dimensiones iguales, c y d son escalares, y O es una matriz cero.
PropiedadEjemplo
Propiedad asociativa de la multiplicación(cd)A=c(dA)
Propiedad distributiva c(A+B)=cA+cB
(c+d)A=cA+dA
Propiedad de la identidad multiplicativa 1A=A
Propiedades multiplicativas del cero0A=O
cO=O
Propiedad de cerradura en la multiplicacióncA es una matriz de las mismas dimensiones que A.
Este artículo explora estas propiedades.

Matrices y multiplicación escalar

Una matriz es un arreglo rectangular de números en renglones y columnas.
Cuando trabajamos con matrices, nos referimos a los números reales como escalares.
El término multiplicación escalar se refiere al producto de un número real por una matriz. En la multiplicación escalar, cada entrada en la matriz se multiplica por el escalar dado.
2[5231]=[25222321]=[10462]
Si algo de esto es nuevo para ti, deberías revisar los siguientes artículos antes de continuar:

Consideraciones de las dimensiones

Observa que un escalar por una matriz de 2×2 es otra matriz de 2×2. En general, un múltiplo escalar de una matriz será otra matriz de la misma dimensión. ¡Este es el significado de la propiedad de cerradura de la multiplicación escalar!

Multiplicación escalar de matrices y multiplicación de números reales

Como la multiplicación escalar depende fuertemente de la multiplicación de los números reales, muchas de las propiedades de la multiplicación que sabemos son ciertas con números reales también son ciertas para la multiplicación escalar.
Veamos cada propiedad individualmente.

Propiedad asociativa de la multiplicación: (cd)A=c(dA)

Esta propiedad indica que si una matriz se multiplica por dos escalares, pudes multiplicar los escalares primero y luego multiplicar por la matriz. O bien puedes multiplicar la matriz por un escalar y luego la matriz resultante por el otro escalar.
El siguiente ejemplo ilustra esta propiedad para c=2, d=3, y A=[5481].
En cada columna simplificamos un lado de la identidad en una sola matriz. Observa que estas dos matrices son iguales por la propiedad asociativa de la multiplicación para números reales. Por ejemplo, (23)5=2(35).
¡Esto muestra que las expresiones originales también deben ser equivalentes!

Propiedades distributivas:

c(A+B)=cA+cB

Esta propiedad indica que un escalar se puede distribuir sobre la suma de matrices.
Aquí hay un ejemplo en el que c=2, A=[5231], y B=[3426]:
Si comparamos la últIma matriz en cada columna, vemos que estas son equivalente por la propiedad distributiva para números reales. Por ejemplo, 2(5+3)=25+23.
¡Así que las dos expresiones originales deben ser equivalentes también!

(c+d)A=cA+dA

Esta propiedad indica que una matriz se puede distribuir sobre una suma de escalares.
Aquí hay un ejemplo en el que c=2, d=3, y A=[6974]:
Una vez más, vemos que las últimas matrices en cada columna son equivalentes por la propiedad distributiva para números reales, ¡lo que hace que las expresiones originales sean equivalentes!

Propiedad de la identidad multiplicativa: 1A=A

Esta propiedad dice que cuando multiplicas cualquier matriz A por el escalar 1, el resultado es simplemente la matriz original A.
Por ejemplo, si A=[2517], entonces tenemos:
1[2517]=[12151117]=[2517]
¡Observa que debido a que 1a=a para cualquier número real a, el escalar 1 siempre será la identidad multiplicativa en la multiplicación escalar!

Propiedades multiplicativas de cero:

0A=O

Esta propiedad dice que en la multiplicación escalar, 0 por cualquier matriz A de m×n es la matriz cero de m×n.
Esto es cierto por las propiedades multiplicativas del cero en el sistema de números reales. Si a es un número real, sabemos que 0a=0. El siguiente ejemplo ilustra esto.
0[3867]=[03080607]=[0000]

cO=O

Esta propiedad dice que cualquier escalar por una matriz cero es la misma matriz cero.
De nuevo, esta propiedad es cierta por las propiedades multiplicativas del cero en el sistema de números reales. Aquí hay un ejemplo en el que c=3 y O es la matriz cero de 2×2.
3[0000]=[30303030]=[0000]

Comprueba tu comprensión

Ahora que te has familiarizado con todas las propiedades de la multiplicación escalar, veamos si puedes usarlas para determinar expresiones matriciales equivalentes.
Para el problema siguiente, sean A y B matrices de 2×2 y sean c y d escalares.
1) ¿Cuáles de las siguientes son equivalentes a c(1A+B)?
Elige todas las respuestas adecuadas:

2) ¿Cuáles de las siguientes son equivalentes a (cd)A+0A?
Elige todas las respuestas adecuadas:

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