Problema verbal con matrices: combinación de vectores

en el vídeo pasado vimos cómo se puede usar la inversa de una matriz para resolver un sistema de ecuaciones era una matriz chiquita de 2 x 2 pero pronto vamos a empezar a hacerlo con matrices de 3 x 3 y más adelante vamos a ver cómo se haría para cualquier matriz de en 'por n no vamos a hacer ningún ejemplo específico ni siquiera para las matrices de 4x4 porque nos tardaríamos muchísimo tiempo y por si te estabas preguntando para qué hacer todo este relajo de las matrices pues en este vídeo te voy a enseñar otra aplicación de las matrices que bueno es más probable que te la enseñen en la clase de álgebra lineal cuando la tomes en la universidad pero lo que es realmente importante aquí y creo que este es el ejemplo ideal es que la representación con matrices es simplemente una forma de representar muchos tipos de problemas y algo muy padre es que si distintos problemas se pueden representar de la misma forma esto lo que te dice es que en el fondo son el mismo problema y si puedes reducir un problema a otro que ya había resuelto todo el trabajo que hiciste para resolver ese problema te sirve para resolver el nuevo en fin veamos esta otra forma en que se pueden usar las matrices a ver entonces digamos que tengo un vector a vector y ese vector es igual a el vector 3 menos 6 de hecho ok recuerden que todas estas son convenciones que lo inventamos nosotros los humanos y que pudimos haberlo hecho de cualquier otra forma pero que se nos ocurrió hacer la de este entonces pues vamos a poner nuestro vector columna que es 3 menos 6 bueno 3 coma menos 6 o lo podemos dejar así y también tenemos a nuestro vector b que va a ser el vector 26 y finalmente tenemos a nuestro vector c que es igual al vector 76 para que quede todo muy claro vamos a dibujarlos en el eje cartesiana aquí está el eje de las yes y aquí está el eje de las x y bueno nada más estoy dibujando esta parte del plano cartesiano porque pues es la única que vamos a necesitar entonces pues ya vamos a graficar el vector a que el vector a es el vector 3 como menos 6 entonces 1 2 3 y luego 1 2 3 4 5 y menos 6 o sea que nuestro vector a se encuentra más o menos por aquí ok y recuerden recuerden que los vectores no están fijos no tienen que ir a fuerzas de aquí que de hecho podemos tomar este vector y moverlo del lugar y moverlo arriba abajo cambiarlo de lugar siempre y cuando tengan la misma orientación y la misma magnitud o sea siempre va a ser una línea de este tamaño y con esta dirección ahora vamos a pintar el vector b que es 2,6 o sea 12 y después 1 2 3 4 5 6 o sea que el vector b está por acá y finalmente el vector se son 7 en el eje de las equis y 6 en el eje de la siesta o sea 1 2 3 4 5 7 y 6 para arriba o sea hasta acá ya lo teníamos entonces se encuentra más o menos por acá obviamente me quedo chueco el dibujo o sea no soy una experta dibujando pero más o menos así está la cosa ok entonces cuál es el problema el problema lo que queremos hacer es ver si podemos escribir al vector c como una combinación lineal de estos dos vectores ok si podemos encontrar no sé llamémosle xy unos números tales que multiplicamos a por equis y le sumamos por b y eso nos da el vector c de hecho ahorita ni siquiera sabemos si realmente hay esos dos números equis y que hacen que si sumamos a equis veces más b ya veces nos van a dar este vector pero pues por lo menos tenemos que intentarlo bien entonces lo que nosotros estamos diciendo que estamos buscando es unos reales xy tales que por equis de por que sea exactamente igual c buscamos estos dos numeritos que hagan eso así es que pues vamos a sustituir aquí los vectores a y b ok del a tenemos el vector 3 - 6 por equis nuestro escalar x más el vector b que es 26 2 por el escalar que estamos buscando que es el número de y esperamos encontrar estos xy que hagan que esto sea exactamente igual a el vector 76 ok y pues por la forma en la que nosotros los humanos definimos la multiplicación entre matrices esto no me lo van a creer pero esto es exactamente igual a esta multiplicación entre matrices - 6 2 esta es nuestra primera matriz y se está multiplicando por la matriz ya adivinaron cuál matriz voy a poner aquí bueno en la matriz x ye igual a 76 y entonces si queda claro que esto es exactamente lo mismo que esto a ver hagamos la multiplicación ok cuando multiplicamos la primera fila de esta matriz por la primera columna de esta matriz lo que nos queda es la primera entrada o sea nos queda 3 por x + 2 por jay y eso tiene que ser exactamente igual a 7 que es lo mismo que nos queda aquí no ósea porque estos dos son escalares entonces se meten dentro del vector de esta forma y entonces lo que nos queda es que 3x más 12 tiene que ser igual a 7 que es justo lo que teníamos por acá ok y lo mismo pasa cuando hacemos la multiplicación de la segunda fila por esta columna nos queda menos 6x más 67 tiene que ser igual a 6 y de este lado nos queda igual lo mismo menos 6x más 6 tiene que ser igual a 6 o sea que está así es otra forma de escribir este mismo problema y tal vez ahorita tú estás diciendo a jaén porque si este si es exactamente el mismo problema que teníamos en el vídeo pasado ok se acuerdan que teníamos por ahí unas rectas que queríamos que se interceptaran y bueno esas líneas esas rectas eran las rectas 3x más 2 igual a 7 y menos 6 x + 6 e igual a 6 y bueno para encontrar cuál es la intersección entre estas dos líneas que es equivalente a encontrar los números xy jake que resuelven este sistema de ecuaciones lo que hacíamos era escribir a este problema con matrices y terminaba haciendo exactamente igual a este problema ok entonces de hecho ya ahorita ya nosotros ya sabemos exactamente cuál es la respuesta cuál es el vector xy pero pues vamos a repasar lo no o sea lo que necesitamos hacer es encontrar a esta matriz lo llamamos la matriz y lo que tenemos que hacer es encontrar la matriz a inversa y multiplicar la del lado izquierdo de los dos lados del igual para que ésta se cancele con esta y entonces ya nada más nos quede el vector xy igual a la inversa multiplicando al vector 7-6 ahora muy importante muy importante siempre hay que recordar lo que el orden en el que multiplicamos las matrices es muy importante ok si multiplicamos aquí la inversa del lado izquierdo de estas matrices tenemos que multiplicar la inversa del lado izquierdo de este vector ok si yo hubiera multiplicado por la inversa de este lado eso habría estado completamente mal bueno no completamente mal hay algunos casos en los que si da lo mismo multiplicar del lado izquierdo o del lado derecho pero en la mayoría de los casos va a resultar algo completamente distinto ok entonces multipliquen siempre del mismo bueno y para calcular a inversa lo que tenemos es allí la inversa es igual a 1 entre el determinante de a y el determinante de a es tres por 618 menos 2 x menos 6 o sea menos 12 o sea 18 menos menos 12 esos 18 más 12 que es treinta y treinta por la matriz adjunta de a y cuál es la matriz adjunta de a en el caso de dos por dos pues tomamos estos dos valores y los intercambiamos al igual que en el vídeo pasado entonces nos queda aquí un 6 y aquí un 3 y estos dos los multiplicamos por menos 1 entonces nos queda menos 2 y menos por menos 6 o sea 6 ok entonces esta es la inversa de la matriz a y lo que tenemos aquí es que xy es igual a la inversa por 7-6 ok entonces vamos a multiplicar aquí por 7-6 y eso nos va a quedar igual a la inversa de la matriz x 76 y eso es igual a x g entonces x es igual 1 entre 30 a ver primera fila por primera columna 7 por 6 42 más menos 2 por 6 o sea menos 12 42 menos 12 esos son 30 y ahora segunda fila por primera columna 6 por 7 42 más 3 por 618 estos son 42 más 18 esos son 60 60 y metemos el escalar 1 entre 30 dentro del vector y nos queda 30 entre 30 eso es igual a 11 y 60 entre 30 eso es igual a 12 entonces el vector x es igual el vector 12 x 12 eso lo que nos dice es que x es igual a 1 y tiene que ser igual a 2 qué x tiene que ser igual a 1 y que tiene que ser igual a 2 y eso qué es lo que nos dice pues aquí teníamos que si multiplicamos el vector a x veces y le sumamos el vector b ya veces aquí lo tenemos más claro a por x más ve por el escalar y nos daba el vector c aunque pero ya vimos que para que eso pase entonces los números xy se tienen que resolver este problema en donde hay que encontrar el vector x y para resolver esta ecuación de matrices pues nada más tenemos que encontrar la inversa de la matriz a y multiplicarla por el vector 7-6 y con eso tenemos que x tiene que ser igual a 1 que tiene que ser igual a 2 entonces aquí x tiene que ser igual a 1 y ya tiene que ser igual a dos y eso lo que nos dice es que si sumamos una vez el vector a y dos veces el vector b lo que vamos a obtener es el vector c que y vamos a verlo aquí gráficamente si no sale en realidad lo que vamos a estar viendo es que también hice yo este dibujo a ver aquí ya tenemos una vez el vector a y queremos sumarle dos veces el vector b y el vector de lo que es 2 hacia la derecha y 6 hacia arriba entonces saber estamos aquí y nos trasladamos 2 hacia la derecha y luego 6 hacia arriba que hay aquí tenemos justo 1 2 3 4 5 6 o sea que nuestro siguiente vector va a quedar por acá en este punto es una vez el vector a más una vez el vector b y ahora le volvemos a sumar el vector b otra vez o sea son otros dos hacia la derecha o sea por aquí y luego 6 hacia arriba 1 2 3 4 5 6 o sea está como por aquí que es justo donde estaba el vector c aquí hay todo este recorrido es una vez el vector dos veces el vector de y en efecto aquí mismo este dibujo nos enseña que 1a 2b si es igual a c porque este vector de por acá es el vector c ok entonces lo resolvimos algebraica mente y lo visualizamos geométricamente en los ejes cartesianos pero lo que realmente estamos aprendiendo aquí el verdadero descubrimiento en este vídeo es que la representación con matrices puede estar representando al mismo tiempo muchísimos problemas distintos este problema se trataba de encontrar qué combinación lineal de los vectores a ive debíamos tomar para obtener el vector c pero en el vídeo pasado la misma representación matricial se usaba para encontrar la intersección de dos líneas y a la hora de representar a ambos problemas con matrices obtuvimos la misma representación matricial y eso lo que nos dice es que ambos problemas están relacionados de una forma muy profunda que si les quitamos el barniz del mundo real en el fondo son la misma y es por este tipo de cosas que las matemáticas son tan interesantes porque cuando te das cuenta de que dos problemas son en realidad el mismo se desvanece esa capa humana de barniz y superficial porque nuestros cerebros están construidos para percibir al mundo de cierta forma pero también nos dice que hay verdades fundamentales independientes de nuestra percepción que unen a todos estos distintos conceptos en fin la verdad la verdad no me quiero poner tan mística pero pues si estás viendo el misticismo que hay a veces detrás de las matemáticas pues que pare con un poco de suerte encontraste algo interesante lo que dije y bueno un montón de personas toman la clase de álgebra lineal y aprenden a hacer todo este tipo de cosas pero al final se preguntan que cuál es el sentido de todo esto del álgebra lineal de la vida del universo y de todo pero a mí me parece que es algo muy interesante y otra pregunta también muy interesante aquí teníamos estos dos vectores a ive y vimos que si sumamos una vez el vector a y dos veces al vector b obtenemos el vector c entonces la otra pregunta interesante es cuáles son todos los vectores que podemos obtener sumando combinaciones de los vectores a ive se vale multiplicar por negativos por fracciones por racionales por cualquier número real que se te ocurra en realidad lo que estamos haciendo es preguntando cuáles son todos los vectores que se pueden escribir como una combinación lineal de los vectores ahí ve vamos a hacer más de este tipo de cosas en álgebra lineal y bueno aquí lo que tenemos es un espacio euclidiano de dimensión 2 podríamos también habernos preguntado lo mismo pero en un espacio de dimensión 3 o incluso en un espacio de dimensión n en ese caso se vuelve todo muy muy abstracto pero también muy padre bueno esto creo que terminó siendo una muy buena embarrada de álgebra lineal y pues espero que no te haya confundido demasiado y te veo en el próximo vídeo