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Resolver sistemas lineales con matrices

Resolvemos esa ecuación matricial mediante la inversa de la matriz de coeficientes. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

en el último vídeo vimos que podemos tomar un sistema de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas y lo representamos con una ecuación matricial la matriz am la tomamos como los coeficientes de las ecuaciones que tengo aquí a la izquierda y el vector columna x es la representación de las variables ese ítem y por último el vector columna haber simplemente representa la parte derecha de estas ecuaciones y bueno lo interesante lo que llegamos en el vídeo pasado es que esto lo podemos representar como la matriz andy que multiplica el vector columna x y que esto es igual al vector columna vez pero es lo padre de esto es que nos dimos cuenta de que si es invertible entonces multiplicando por la izquierda ambos lados de esta ecuación y ojo multiplicamos el lado izquierdo de esta ecuación pues en este caso si importa el orden en que multiplicamos las matrices por eso nos estamos tomando la multiplicación por el lado izquierdo entonces si multiplicamos la izquierda de la ecuación por la inversa obtenemos que podemos resolver de una manera sencilla para el doctor columna equis y una vez que sepamos cuánto vale el vector columna x entonces ya sabemos cuánto vale s y con eso logramos solucionar el sistema de ecuaciones así que bueno es momento de resolverlo vamos a averiguar cuánto vale la matriz inversa de amd y multipliquemos la por el vector columna p y cuál es o obtendremos el valor de ese ítem así que a inversa ésta va a ser igual a 1 entre el determinante de amp pero bueno en el caso de una matriz de dos por dos el determinante de asse obtiene una manera muy sencilla multiplicando ambos lo siguiente vamos a multiplicar a 2 por 4 ya eso le vamos a restar la multiplicación de menos dos por menos 5 y eso es bueno pues 2 por 4 es 88 menos menos 2 por menos 5 es 10 positivo por lo tanto nos va a quedar 8 menos 10 y bueno eso es lo mismo que menos 2 y es más vamos a corroborar lo para ver que no nos hayamos equivocado 2 por 4 es 88 - a menos 2 por menos 5 es 10 positivo ocho menos diez es menos dos ok entonces me queda 1 entre el determinante de am por la matriz adjunta de am y esa matriz recibe es el nombre adjunta de am porque esencialmente se obtiene intercambiando la entrada superior izquierda con la inferior derecha esto en una matriz de dos por dos así que este de aquí se vuelve un cuatro y este de aquí se va a volver un 2 y después hay que hacer estos dos negativos la versión negativa de los que son actualmente así que de menos 2 es 2 y de menos 5 es 5 si todo esto te suena demasiado extraño debería repasar el tutorial de matrices inversas pues es todo lo que estamos viendo aquí así que a inversa va a ser igual am y bueno sí multiplicó el menos un medio por cada una de estas entradas me quedaría menos un medio por 4 eso es lo mismo que menos 2 después tengo menos 1 entre 2 x 5 menos un medio por 5 bueno pues se encuentra 2 es lo mismo que cinco medios o 2.5 entonces me quedaría menos 2.5 después tengo menos un medio x bueno eso es menos 1 y menos un medio por 2 es menos 1 así que aquí tenemos ya por fin nuestra matriz inversa de a así que ahora vamos a multiplicar a esta matriz inversa por el vector columna 7 menos 6 así que déjame poner aquí a la matriz inversa que obtuvimos que es este de aquí me quedan menos 2 menos 2.5 menos 1 y menos uno ok a esta matriz la voy a multiplicar por el vector columna 7 menos 6 y bueno nosotros ya tenemos un montón de práctica multiplicando matrices así que esto creo que va a ser muy sencillo y bueno nuestra primera entrada va a salir de multiplicar el menos dos ok este menos 2 por el 7 lo cual bueno esos menos 14 ok ya esto habrá que sumarle menos 2.5 por menos 6 y bueno menos por menos es más ok y después me queda 2.5 por 6 6 por 2 es 12 12 3 es 15 15 positivo entonces me va a quedar menos 14 más 15 ok y después tengo menos 1 lo cuales siete ya esto le voy a sumar menos 1 x menos 6 lo cual es seis positivos ok entonces esto va a ser exactamente igual am y ya está muy fácil ahora sí voy a obtener la respuesta de multiplicar a la matriz inversa de actores vector columna b que por cierto es justo lo que nosotros queremos es el vector columna x ok justo este de aquí y bueno esto pase exactamente igual y esto ya está muy sencillo me quedaría el vector columna uno menos uno así que con todo esto ya mostramos que esto es exactamente igual al vector columna uno menos uno o de otra manera el vector columna x es igual al vector uno menos uno o lo que es lo mismo y eso déjame escribirlo aquí porque es muy importante el vector columna st y déjame ponerlo con sus respectivos colores el vector columna acepten ok éste va a ser igual al vector columna uno menos uno al vector columna uno menos uno o lo que es lo mismo dicho de otra manera ese va a ser igual a uno y te va a ser igual a menos 1 y ya con eso tenemos la solución del problema y estoy seguro que tú estarás pensando y bueno lo dije en el vídeo pasado pero lo voy a repetir hoy es 'la porque usar este método que es más largo si podemos utilizar el método de suma resta o sustitución o lo que sea de una manera directa y bueno de hecho estoy de acuerdo contigo pero es que esta técnica es muy útil cuando estás tratando con problemas computacionales en donde tienes una situación por ejemplo en la que el lado izquierdo de la ecuación este de aquí sea el mismo mientras que el lado derecho está cambiando es decir les des muchos pero muchos valores distintos para el lado derecho de estas ecuaciones y esto porque va a ser mucho más fácil que obtengas solamente una vez la inversa de la matriz y la mantengas multiplicando por cualquier vector columna vez que necesites y seguramente estás un poco familiarizado con esto pues si tú tienes un procesador gráfico o una tarjeta de gráficos en tu computadora y estos hacen unos procesos gráficos especiales pues todo esto es en realidad un soporte físico o un soporte especial de multiplicaciones de matrices de una manera muy rara porque cuando estás haciendo procesamiento gráfico estarás pensando en modelar cosas en tres dimensiones y haces todas estas transformaciones realmente lo que estás haciendo es estas multiplicaciones de matrices de una manera muy pero muy pero muy rápida en tiempo real así que cuando estás jugando un juego de vídeo lo que sea se siente como tener una realidad en tres dimensiones en tiempo real pero de cualquier manera solo quería realizar esto si me tomo esta parte de acáp de una manera aleatoria de manera azarosa pues mi primer instinto resolverlo por eliminación pero deberías de pensar que esta definición de ecuación de matrices es un concepto muy pero muy útil no solamente en la computación porque si tú estudias algunas ciencias a niveles muy altos especialmente la física vas a ver un montón de ecuaciones matricial es como esta tal vez las encuentres de una manera muy general pero es muy importante que pienses en qué representa realmente esta expresión y en cómo las puedes resolver