Introducción al teorema binomial

no nos va a tomar mucho tiempo darnos cuenta de que si tomamos potencias cada vez más altas de un binomio y las desarrollamos se vuelve cada vez más complicado pero bueno vamos a desarrollar algunas cuantas potencias del binomio para que veas qué tan rápido se vuelve enredoso así es que pues vamos a comer un binomio este es un binomio porque tiene estos dos términos y bueno vamos a elevarlo primero a la potencia cero a ver qué pasa aquí si tomamos cualquier número distinto de cero y lo elevamos a la potencia cero pues nos queda simplemente un 1 cierto bueno ahora entonces vamos a tomar nuestro binomio y lo vamos a elevar a la potencia 1 así es que nos queda simplemente además ve muy bien hasta ahorita no ha sido nada enredoso pero vamos a ver qué pasa con nuestro binomio pero ahora elevado al cuadrado si no has estado practicando eso de elevar binomios al cuadrado entonces seguramente has estado tentado a escribir a cuadrada más de cuadrada pero no es así eso está muy mal y si hiciste eso deberías sentirte ligeramente pero muy ligeramente arrepentido esto no está bien a más b al cuadrado no está cuadrada más b cuadrada es simplemente nuestro binomio por otra vez nuestro binomio ok y a la hora de desarrollar esta multiplicación lo que nos queda es aportar a cuadrada más por ve que es a por ve más ve ahora que pues en realidad se escribe como otra a por ve más y finalmente ve por ve que es una de cuadrada ahora estos dos son igualitos entonces los podemos poner en un solo término y nos queda a cuadrada más tenemos dos de estos dos a b más b cuadrada más de cuadrada bueno tampoco estuvo nada complicado no sin embargo ahora vamos a desarrollar a más p al cubo y te recomiendo que lo pongas pausa y los saques tú solito este binomio al cubo es igual a más de elevado a la segunda potencia por otra vez el binomio a más de y para hacer esta multiplicación pues vamos a hacerlo de una forma más fácil vamos a poner por aquí + d y vamos a hacer esta multiplicación de esta forma y vamos a poner de verde cuando multiplicamos por esteve y entonces nos queda de x b cuadrada pues es de kubica más de por 2 a d 2a ve cada vez más ve por a cuadrada pues es a cuadrado por b y vamos a escribir con rosa lo que multiplicamos por ésta a ver tenemos aquí una ave cuadrada y la multiplicamos por a y nos queda aprobé cuadrada entonces ponemos por aquí o por be cuadrada más 2 ave por una y nos queda dos a cada lado por b y finalmente a cuadrada por a es simplemente a al cubo y ahora simplemente tenemos que sumar todos estos términos entonces nos queda de al cubo de alcohol más 2 a de cuadrada más otro de estos adecuadamente así es que nos quedan 3 de ave cuadrada y aquí tenemos pues 3 a cuadrada probé no porque tenemos aquí 2 a cuadrada por b más uno de a cuadrada por b y eso es 3 a cuadrada de más 1 x al cubo a al cubo y mirad apenas a estas alturas pues ya nos tomó una cantidad considerable de tiempo en desarrollar este binomio al cubo y la cosa sólo se va a seguir poniendo cada vez más complicada o sea ahora imagínate desarrollar el binomio a la cuarta potencia y bueno ni siquiera tiene por qué ser nada más a la cuarta potencia ahora imagínate cómo se va a poner la cosa cuando estemos desarrollando el binomio décima potencia oa la veinteava potencia como que si se pondría algo complicado o no y aquí es donde se vuelve súper útil el teorema del binomio a ver pero que ese sobre el teorema del binomio tenemos que repasar lo rima de él mi novio vino mío y bueno me voy a quedar con la anotación de ahí ve lo que tenemos es por aquí un binomio que está compuesto de a más he elevado a la potencia m y lo que nos dice el teorema del binomio es que elevar este binomio a la enésima potencia es igual a la suma y bueno la anotación y la fórmula se van a ver un poco complicadas al principio pero después lo van a entender mucho mejor cuando veamos un ejemplo concreto el chiste es que es la suma desde que cae es igual a cero hasta que cae es igual a n estã n y está en eso en la misma d ha elevado a la potencia n - k por b elevado a la k por un coeficiente que vamos a repasar en unos cuantos segundos que son las combinaciones de n estã n en k que es el valor que toma esta acá en este sumando entonces las combinaciones de n en cada a las que también nos referimos cuando estamos hablando acerca de las formas de escoger de un conjunto de elementos elementos son un objeto de combinatoria muy utilizado en las matemáticas y es igual a n factorial / k factorial x m - k factorial y bueno entonces vamos ahora a ver este ejemplo del que estaba hablando con números concretos y por qué no empezamos este ejemplo con este binomio que nos estaba dando miedo desarrollar o sea con a más ve a la 4a ver esto es igual y ahorita voy a usar tal cual esta anotación esto es igual a la suma desde que acá es igual a cero hasta n que en este caso es un 4 de las combinaciones de 4 en cada x a la 4 menos cada golpe a la k y bueno esto a que es igual pues podemos desarrollar esta suma y lo que nos queda pues es esto suman 2 pero sustituyendo cada una de las casas entre 0 y 4 o sea que aquí vamos a empezar sustituyendo acá igual a cero así es que el primer término son las combinaciones de 4 en 0 x a la 4 - 0 o sea simplemente a la 4a a la 4 y ya me voy a quedar con el puro naranja para no estar cambiando tanto de color entonces a a la 4 x b a la k pero que hay cero entonces aquí sería vea cero que es uno entonces podríamos poner por aquí un 1 pero pues mejor lo dejamos así no más el segundo término de esta suma que son las combinaciones de cuatro en cada cuando cada vale 1 x a la 4 - 1 o sea a la 3a a la 3 por ver a la 1 o sea simplemente ve más este término cuando caes igualados o sea las combinaciones de cuatro en dos por a a la 4 - 2 o sea a al cuadrado a al cuadrado por ve a la 2 o sea b al cuadrado nada las combinaciones de cuatro en tres por a a la 4 - 3 o sea a la 1 a por b a la 3 o sea ve al cubo ahora si finalmente las combinaciones de cuatro en cuatro por a la 44 pero eso es simplemente a la 0 que es un 1 por b a la 4 o sea simplemente ve a la 4 y entonces ya casi terminamos ya lo único que nos falta es encontrar cuánto valen estas cosas de las combinaciones de n en que no querías y es que pues encontremos las a ver vamos a empezar por este que son las combinaciones de cuatro en cero y pues tenemos aquí que eso es simplemente 4 factorial que es nuestra n entre cada factorial que es 0 factorial por n menos k es 40 factorial y pues 4 -0 es simplemente un 4 y lo estamos haciendo factorial entonces pues sabemos que el 0 factorial es simplemente un 1 y aquí tenemos 4 factorial entre 4 factorial eso es simplemente un 1 entonces las combinaciones de 4 en 0 son simplemente un 1 entonces vamos con este por aquí estamos buscando las combinaciones de 4 en 1 está fórmula nos dice que las combinaciones de 4 en 1 es n factorial que es 4 factorial entre cada factorial qué es factorial por n me queda factorial que es 4 - 1 factorial pero 4 - 1 es simplemente un 3 y le tenemos que poner factorial y para simplificar esta fracción hay que recurrir a la naturaleza de los factoriales esto de aquí el 4 factorial es simplemente 4 por 3 por 2 por 1 y este 3 factorial es 3 por 2 por 1 entonces pues se ve que ahí se van a cancelar algunas cosas no a ver vamos a escribirlo 4 factorial es 4 por 3 por 2 por 1 y aquí tenemos 1 factorial que es un 1 por tres factores que es 3 por 2 por 1 entonces esto se cancela con esto y nos queda simplemente un 4 entonces las combinaciones de 4 en 1 son simplemente un 4 ahora vamos a sacar las combinaciones de 4 en dos combinaciones de 4 en 2 es igual en el factorial 4 factorial entre cada factorial 2 factorial por n menos que sea 4 menos dos que simplemente otro 2 factorial y esto es igual 4 factorial es 4 por 3 por 2 por 1 y 2 factorial es 2 por 1 pero pues 2 por 1 es simplemente un 2 entonces de este factorial tenemos este 2 por este 2 factorial que es otro 2 y pues estos 2 12 se cancelan con este 4 y nos queda simplemente 3 por 2 y 3 por 12 6 entonces las combinaciones de 4 en 2 son iguales a 6 ahora sacamos las combinaciones de 4 en 3 a ver esto es igual a 4 factorial entre 3 factorial por 4 menos tres factorial que es un 1 factorial te suena conocido pues qué bueno que si no suena conocido porque mira 4 factorial entre 3 factorial por 1 factorial es justo lo que sacamos por aquí ok es igual a las combinaciones de 4 en 1 esto ya vimos que es igual a 4 entonces las combinaciones de 4 en 3 es igual a 14 entonces ya nada más tenemos que sacar las combinaciones de cuatro en cuatro combinaciones de cuatro en cuatro 4 factorial 4 factorial entre 4 factorial 4 factorial por cuatro menos 4 que es un 0 factorial y otra vez esta cuenta ya la habíamos hecho antes está por aquí lo único que tenemos que hacer es cambiar estos dos factores de lugar y listo ya son iguales así es que ya sabemos cuánto valen las combinaciones de cuatro en cuatro valen uno las combinaciones de cuatro en cuatro son iguales a uno y tal cual acabamos de terminar vamos ve a la 4 es igual a 1 x a la 4 más 4 x al cubo por b más 6 x al cuadrado b al cuadrado más 4 x a por ve al cubo más 1 por ver a la 4 y listo a ver además ve a la 4 es igual a la 4 a la 4 más 4 voy a poner los coeficientes con morado 4 x a al cubo por ver más 6 por la cuadrada por ver cuadrada más 44 podrá volver al cubo más 1 por ver a la 4 o sea ve a la 4 y listo como que quedó muy bonito muy simétrico hasta hay muchos patrones ahí en medio y todo no o sea empezamos con la 4 y vamos bajando la potencia aquí tenemos a la 3 y tenemos a la 2 aquí esto es a la 1 y bueno aquí no está escrito pero podríamos pensar que tenemos un 1 que a piña al cabo es como un a la 0 y lo mismo con la b o sea empezamos con b a la 4 y vamos bajando el exponente de derecha a izquierda entonces tenemos ve a las 3 y ve a la 2 y ve a la 1 y luego por aquí tenemos un de a la 0 muy bien escondido y también podemos cambiar de lugar y ponerlo por aquí y los coeficientes como que también siguen cierto patrón no o sea tenemos por allí 4 luego el coeficiente del término de enmedio que son 6 y luego se repiten del centro hacia la orilla otra vez los coeficientes o sea aquí tenemos este 4 y aquí tenemos otra vez un 1 y esta es sólo una aplicación o bueno un ejemplo del teorema del binomio pero hay muchísimos y en los próximos vídeos vamos a ver varios de estos ejemplos del teorema del binomio y en algún punto vamos a tratar de entender por qué funcionan