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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10

Lección 11: Factorizar monomios
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Expresiones, ecuaciones y funciones polinomiales
Factorizar monomios
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Máximo común divisor de monomios

Google Classroom
Aprende a encontrar el MCD (máximo común divisor) de dos monomios o más.

Con lo que deberías de estar familiarizado antes de esta lección

Un monomio es una expresión que es el producto de constantes y potencias enteras no negativas de x, como 3, x, squared. Un polinomio es una suma de monomios.
Puedes escribir la factorización completa de un monomio al escribir la factorización en primos del coeficiente y desarrollar la parte variable. Revisa nuestro artículo Factorizar monomios si esto es nuevo para ti.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección, aprenderás acerca del máximo común divisor (MCD) y cómo encontrarlo en monomios.

Repaso: máximos comúnes divisores en enteros

El máximo común divisor de dos números es el entero más grande que es factor de ambos números. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6.
Podemos encontrar el MCD para cualesquiera dos números al examinar sus factorizaciones en primos:
  • 12, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 2, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10
  • 18, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, dot, 3
Observa que 12 y 18 tienen un factor de start color #11accd, 2, end color #11accd y un factor de start color #e07d10, 3, end color #e07d10 en común, así que el máximo común divisor de 12 y 18 es start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, equals, 6.

Máximos comúnes divisores en monomios

El proceso es similar cuando se te pide encontrar el máximo común divisor de dos o más monomios.
Simplemente escribe la factorización completa de cada monomio y encuentra los factores comunes. El producto de todos los factores comunes será el MCD.
Por ejemplo, encontremos el máximo común divisor de 10, x, cubed y 4, x:
  • 10, x, cubed, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 5, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x, dot, x
  • 4, x, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 2, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Observa que 10, x, cubed y 4, x tienen un factor de start color #11accd, 2, end color #11accd y un factor de start color #e07d10, x, end color #e07d10 en común. Por lo tanto, su máximo común divisor es start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10 o 2, x.

Comprueba tu comprensión

1) ¿Cuál es el máximo común divisor de 9, x, squared y 6, x?
Escoge 1 respuesta:

2) ¿Cuál es el máximo común divisor de 12, x, start superscript, 5, end superscript y 8, x, cubed?

3) ¿Cuál es el máximo común divisor de 5, x, start superscript, 7, end superscript, 30, x, start superscript, 4, end superscript y 10, x, cubed?

Una nota sobre la parte variable del MCD

En general, la parte variable del MCD para cualesquiera dos o más monomios será igual a la parte variable del monomio con la potencia más pequeña de x.
Por ejemplo, considera los monomios start color #11accd, 6, end color #11accd, start color #e07d10, x, start superscript, 5, end superscript, end color #e07d10 y start color #11accd, 4, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10:
  • Como la potencia más pequeña de x es start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, esa será la parte variable del MCD.
  • Luego podrías encontrar el MCD de start color #11accd, 6, end color #11accd y start color #11accd, 4, end color #11accd, que es start color #11accd, 2, end color #11accd, y multiplicarlo por start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10 para obtener start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, ¡que es el MCD de los monomios!
El MCD de 6 y 4 es 2La menor potencia de x5 y x2 es x2↘↙MCD(6x5,4x2)=2x2\begin{aligned} \text{El MCD de }\blueD 6\text{ y }\blueD 4\text{ es }\blueD 2\qquad&\quad\text{La menor potencia de }\goldD{x^5}\text{ y }\goldD{x^2}\text{ es }\goldD{x^2} \\ \searrow\quad&\quad\swarrow \\ \LARGE\text{MCD}(\blueD 6\goldD{x^5},\blueD 4\goldD{x^2})=\blueD 2&\LARGE \goldD{x^2} \end{aligned}
Esto es especialmente útil cuando hay que encontrar el MCD de monomios con potencias muy grandes de x. ¡Por ejemplo, sería muy tedioso factorizar por completo monomios como 32, x, start superscript, 100, end superscript y 16, x, start superscript, 88, end superscript!

Problemas de desafío

4*)¿Cuál es el máximo común divisor de 20, x, start superscript, 76, end superscript y 8, x, start superscript, 92, end superscript?

5*) ¿Cuál es el máximo común divisor de 40, x, start superscript, 5, end superscript, y, squared y 32, x, squared, y, cubed?

¿Qué sigue?

¡Para ver cómo podemos usar estas habilidades para factorizar polinomios, revisa nuestro siguiente artículo sobre la manera de factorizar el máximo común divisor!

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