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Álgebra (todo el contenido)
Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10
Lección 14: Introducción a factorización de cuadráticas- Factorizar expresiones cuadráticas como (x+a)(x+b)
- Factorizar cuadráticas: coeficiente principal = 1
- Factorizar cuadráticas como (x+a)(x+b). Ejemplo 2
- Más ejemplos de factorización de cuadráticas como (x+a)(x+b)
- Calentamiento: introducción a factorización de cuadráticas
- Introducción a factorización de cuadráticas
- Repaso de factorización de cuadráticas simples
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Factorizar cuadráticas: coeficiente principal = 1
Aprende a factorizar expresiones cuadráticas como el producto de dos binomios lineales. Por ejemplo, x²+5x+6=(x+2)(x+3).
Lo que necesitas saber para esta lección
Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto a la multiplicación de polinomios. Para más información al respecto, revisa nuestro artículo previo sobre sacar factores comunes.
Lo que aprenderás en esta lección
En esta lección, aprenderás a factorizar un polinomio de la forma como un producto de dos binomios.
Repaso: multiplicar binomios
Consideremos la expresión .
Podemos encontrar el producto al aplicar la propiedad distributiva varias veces.
Así que tenemos .
De aquí, vemos que y son factores de , ¿pero cómo encontramos estos factores si no comenzamos con ellos?
Factorizar trinomios
Podemos hacer el proceso inverso de la multiplicación binomial mostrado anteriormente para factorizar un trinomio (lo cual es un polinomio con términos).
En otras palabras, si comenzamos con el polinomio , podemos usar la factorización para escribirlo como un producto de dos binomios, .
Echemos un vistazo a algunos ejemplos para ver cómo se hace.
Ejemplo 1: factorizar
Para factorizar , primero necesitamos encontrar dos números que multiplicados den (el número constante) y sumados den (el coeficiente ).
Estos dos números son y porque y .
Luego podemos sumarle a cada uno de estos números para formar los dos factores binomiales: y .
En conclusión, factorizamos el trinomio como sigue:
Para revisar la factorización, podemos multiplicar los dos binomios:
El producto de y es . ¡Nuestra factorización es correcta!
Comprueba tu comprensión
Echemos un vistazo a algunos ejemplos más y veamos qué podemos aprender de ellos.
Ejemplo 2: factorizar
Para factorizar , primero encontremos dos números que multiplicados den y sumados den .
Estos dos números son y porque y .
Luego podemos sumarle a cada uno de estos números para formar los factores binomiales: y .
La factorización se da a continuación:
Patrón de factorización: observa que los números necesarios para factorizar son ambos negativos y . Esto es porque su producto necesita ser positivo y su suma negativa .
En general, cuando se factoriza , si es positivo y es negativo, ¡entonces ambos factores serán negativos!
Ejemplo 3: factorizar
Podemos escribir como .
Para factorizar , primero encontremos dos números que multiplicados den y sumados den .
Estos dos números son y porque y .
Luego podemos sumar cada uno de estos números a para formar los dos factores binomiales: y .
La factorización se da a continuación:
Patrones de factorización: observa que para factorizar , necesitamos un número positivo y un número negativo . Esto es porque su producto necesita ser negativo .
En general, cuando se factoriza , si es negativo, entonces un factor será positivo y un factor será negativo.
Resumen
En general, para factorizar un trinomio de la forma , necesitamos encontrar factores de que sumados den .
Supón que estos dos números son y , de tal forma que y , entonces .
Comprueba tu comprensión
¿Por qué funciona esto?
Para entender por qué funciona este método de factorización, regresemos al ejemplo original en el que factorizamos como .
Si regresamos y multiplicamos los dos factores binomiales, podemos ver el efecto que el y el tienen en formar el producto .
Vemos que el coeficiente del término de es la suma de y , y el término constante es el producto de y .
El patrón suma-producto
Repitamos lo que acabamos de hacer con para :
Para resumir este proceso, tenemos la siguiente ecuación:
Esto se llama el patrón suma-producto.
Muestra por qué, una vez que expresamos un trinomio como (al encontrar dos números y tal que y ), podemos factorizar ese trinomio como .
Pregunta para reflexionar
¿Cuándo podemos usar este método para factorizar?
En general, el método suma-producto se aplica solo cuando podemos escribir un trinomio como para dos enteros y .
Esto significa que, para poder considerar este método, el término principal del trinomio debe ser (y no, por ejemplo, ). Esto es porque el producto de y siempre será un polinomio con término principal de .
Sin embargo, no todos los trinomios con como término principal se pueden factorizar. Por ejemplo, no se puede factorizar porque no hay dos enteros cuya suma sea y cuyo producto sea .
En futuras lecciones aprenderemos más formas de factorizar otros tipos de polinomios.
Problemas de desafío
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- se puede factorizar -x² + 16x - 47 = 17 ?(7 votos)
- ¿Cuantos métodos factorización existen?(5 votos)
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