If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10

Lección 14: Introducción a factorización de cuadráticas
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Expresiones, ecuaciones y funciones polinomiales
Introducción a factorización de cuadráticas
© 2023 Khan AcademyTérminos de usoPolítica de privacidadAviso de cookies

Factorizar cuadráticas: coeficiente principal = 1

Google Classroom
Aprende a factorizar expresiones cuadráticas como el producto de dos binomios lineales. Por ejemplo,  x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Lo que necesitas saber para esta lección

Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto a la multiplicación de polinomios. Para más información al respecto, revisa nuestro artículo previo sobre sacar factores comunes.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección, aprenderás a factorizar un polinomio de la forma x, squared, plus, b, x, plus, c como un producto de dos binomios.

Repaso: multiplicar binomios

Consideremos la expresión left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Podemos encontrar el producto al aplicar la propiedad distributiva varias veces.
(x+2)(x+4)=(x+2)(x)+(x+2)(4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8\begin{aligned} \tealD{(x+2)}(x+4)&=\tealD{(x+2)}(x)+\tealD{(x+2)}(4)\\\\ &=x^2+2x+4x+8\\\\ &=x^2+6x+8 \end{aligned}
Así que tenemos left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8.
De aquí, vemos que x, plus, 2 y x, plus, 4 son factores de x, squared, plus, 6, x, plus, 8, ¿pero cómo encontramos estos factores si no comenzamos con ellos?

Factorizar trinomios

Podemos hacer el proceso inverso de la multiplicación binomial mostrado anteriormente para factorizar un trinomio (lo cual es un polinomio con 3 términos).
En otras palabras, si comenzamos con el polinomio x, squared, plus, 6, x, plus, 8, podemos usar la factorización para escribirlo como un producto de dos binomios, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Echemos un vistazo a algunos ejemplos para ver cómo se hace.

Ejemplo 1: factorizar x, squared, plus, 5, x, plus, 6

Para factorizar x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, primero necesitamos encontrar dos números que multiplicados den start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff (el número constante) y sumados den start color #e07d10, 5, end color #e07d10 (el coeficiente x).
Estos dos números son start color #11accd, 2, end color #11accd y start color #1fab54, 3, end color #1fab54 porque start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 y start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5.
Luego podemos sumarle a x cada uno de estos números para formar los dos factores binomiales: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis yleft parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
En conclusión, factorizamos el trinomio como sigue:
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
Para revisar la factorización, podemos multiplicar los dos binomios:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
El producto de x, plus, 2 y x, plus, 3 es x, squared, plus, 5, x, plus, 6. ¡Nuestra factorización es correcta!

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza x, squared, plus, 7, x, plus, 10.
Escoge 1 respuesta:

2) Factoriza x, squared, plus, 9, x, plus, 20.

Echemos un vistazo a algunos ejemplos más y veamos qué podemos aprender de ellos.

Ejemplo 2: factorizar x, squared, minus, 5, x, plus, 6

Para factorizar x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, primero encontremos dos números que multiplicados den start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff y sumados den start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Estos dos números son start color #11accd, minus, 2, end color #11accd y start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54 porque left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 y left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5.
Luego podemos sumarle a x cada uno de estos números para formar los factores binomiales: left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis y left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
La factorización se da a continuación:
x2−5x+6=(x+(−2))(x+(−3))=(x−2)(x−3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Patrón de factorización: observa que los números necesarios para factorizar x, squared, minus, 5, x, plus, 6 son ambos negativos left parenthesis, minus, 2 y minus, 3, right parenthesis. Esto es porque su producto necesita ser positivo left parenthesis, 6, right parenthesis y su suma negativa left parenthesis, minus, 5, right parenthesis.
En general, cuando se factoriza x, squared, plus, b, x, plus, c, si c es positivo y b es negativo, ¡entonces ambos factores serán negativos!

Ejemplo 3: factorizar x, squared, minus, x, minus, 6

Podemos escribir x, squared, minus, x, minus, 6 como x, squared, minus, 1, x, minus, 6.
Para factorizar x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff, primero encontremos dos números que multiplicados den start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff y sumados den start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10.
Estos dos números son start color #11accd, 2, end color #11accd y start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54 porque left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 y start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1.
Luego podemos sumar cada uno de estos números a x para formar los dos factores binomiales: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis y left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
La factorización se da a continuación:
x2−x−6=(x+2)(x+(−3))=(x+2)(x−3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Patrones de factorización: observa que para factorizar x, squared, minus, x, minus, 6, necesitamos un número positivo left parenthesis, 2, right parenthesis y un número negativo left parenthesis, minus, 3, right parenthesis. Esto es porque su producto necesita ser negativo left parenthesis, minus, 6, right parenthesis.
En general, cuando se factoriza x, squared, plus, b, x, plus, c, si c es negativo, entonces un factor será positivo y un factor será negativo.

Resumen

En general, para factorizar un trinomio de la forma x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, necesitamos encontrar factores de start color #aa87ff, c, end color #aa87ff que sumados den start color #e07d10, b, end color #e07d10.
Supón que estos dos números son m y n, de tal forma que c, equals, m, n y b, equals, m, plus, n, entonces x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.

Comprueba tu comprensión

3) Factoriza x, squared, minus, 8, x, minus, 9.

4) Factoriza x, squared, minus, 10, x, plus, 24.

5) Factoriza x, squared, plus, 7, x, minus, 30.

¿Por qué funciona esto?

Para entender por qué funciona este método de factorización, regresemos al ejemplo original en el que factorizamos x, squared, plus, 5, x, plus, 6 como left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Si regresamos y multiplicamos los dos factores binomiales, podemos ver el efecto que el start color #11accd, 2, end color #11accd y el start color #1fab54, 3, end color #1fab54 tienen en formar el producto x, squared, plus, 5, x, plus, 6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+2⋅3=x2+(2+3)x+2⋅3\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
Vemos que el coeficiente del término de x es la suma de start color #11accd, 2, end color #11accd y start color #1fab54, 3, end color #1fab54, y el término constante es el producto de start color #11accd, 2, end color #11accd y start color #1fab54, 3, end color #1fab54.

El patrón suma-producto

Repitamos lo que acabamos de hacer con left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis para left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+m⋅n=x2+(m+n)x+m⋅n\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
Para resumir este proceso, tenemos la siguiente ecuación:
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54
Esto se llama el patrón suma-producto.
Muestra por qué, una vez que expresamos un trinomio x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff como x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 (al encontrar dos números start color #11accd, m, end color #11accd y start color #1fab54, n, end color #1fab54 tal que start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 y start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54), podemos factorizar ese trinomio como left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis.

Pregunta para reflexionar

6) ¿Se puede usar este método de factorización para factorizar 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1?
Escoge 1 respuesta:

¿Cuándo podemos usar este método para factorizar?

En general, el método suma-producto se aplica solo cuando podemos escribir un trinomio como left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis para dos enteros m y n.
Esto significa que, para poder considerar este método, el término principal del trinomio debe ser x, squared (y no, por ejemplo, 2, x, squared). Esto es porque el producto de left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis y left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis siempre será un polinomio con término principal de x, squared.
Sin embargo, no todos los trinomios con x, squared como término principal se pueden factorizar. Por ejemplo, x, squared, plus, 2, x, plus, 2 no se puede factorizar porque no hay dos enteros cuya suma sea 2 y cuyo producto sea 2.
En futuras lecciones aprenderemos más formas de factorizar otros tipos de polinomios.

Problemas de desafío

7*) Factoriza x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared.

8*) Factoriza x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6.

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión
¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.