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Factorizar por agrupación

Aprende acerca de un método de factorización llamado "agrupación." Por ejemplo, podemos usar la agrupación para escribir 2x²+8x+3x+12 como (2x+3)(x+4).

Lo que necesitas saber para esta lección

Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto al proceso de la multiplicación de polinomios.
Ya hemos visto varios ejemplos de factorización. Sin embargo, para este artículo, deberías estar familiarizado específicamente con sacar factores comunes usando la propiedad distributiva. Por ejemplo, 6x2+4x=2x(3x+2).

Lo que aprenderás en esta lección

En este artículo, aprenderemos cómo usar un método de factorización llamado agrupación.

Ejemplo 1: factorizar 2x2+8x+3x+12

Primero, observa que no hay factor común para todos los términos en 2x2+8x+3x+12. Sin embargo, si agrupamos los primeros dos términos y los últimos dos términos, cada grupo tiene su propio MCD, o máximo común divisor:
(2x2+8x)primer agrupamiento+(3x+12)segundo agrupamiento
En particular, hay un MCD de 2x en la primera agrupación y un MCD de 3 en la segunda agrupación. Podemos factorizarlos para obtener la siguiente expresión:
2x(x+4)+3(x+4)
Observa que esto revela otro factor común entre los dos términos: x+4. Podemos usar la propiedad distributiva para factorizar este factor común.
2x(x+4)+3(x+4)=(x+4)(2x+3)
Ya que el polinomio se expresa como un producto de dos binomios, está en forma factorizada. Podemos comprobar nuestro trabajo al multiplicar para desarrollar los paréntesis y comparar el resultado con el polinomio original.

Ejemplo 2: factorizar 3x2+6x+4x+8

Vamos a resumir lo que se hizo anteriormente al factorizar otro polinomio.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Agrupa términos.=3x(x+2)+4(x+2)Factoriza los MCD.=3x(x+2)+4(x+2)¡Factor común!=(x+2)(3x+4)Factoriza x+2.
La forma factorizada es (x+2)(3x+4).

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza 9x2+6x+12x+8.
Escoge 1 respuesta:

2) Factoriza 5x2+10x+2x+4.

3) Factoriza 8x2+6x+4x+3.

Ejemplo 3: factorizar 3x26x4x+8

Hay que ser más cuidadosos cuando el método de agrupación se usa para factorizar un polinomio con coeficientes negativos.
Por ejemplo, los pasos siguientes se pueden usar para factorizar 3x26x4x+8.
0=3x26x4x+8(1)=(3x26x)+(4x+8)Agrupa términos.(2)=3x(x2)+(4)(x2)Factoriza los MCD.(3)=3x(x2)4(x2)Simplifica.(4)=3x(x2)4(x2)¡Factor común!(5)=(x2)(3x4)Factoriza x2.
La forma factorizada del polinomio es (x2)(3x4). Podemos multiplicar los binomios para comprobar nuestro trabajo.
Algunos de los pasos anteriores pueden parecer diferentes a lo que viste en el primer ejemplo, así que quizás tengas algunas preguntas.
¿De dónde vino el signo "+" entre las agrupaciones?
En el paso (1), un signo de "+" se agregó entre las agrupaciones (3x26x) y (4x+8). Esto es porque el tercer término (4x) es negativo y el signo del término debe incluirse dentro de la agrupación.
Mantener el signo de menos afuera de la segunda agrupación es delicado. Por ejemplo, un error común es agrupar 3x26x4x+8 como (3x26x)(4x+8). Esta agrupación, sin embargo, se simplifica a 3x26x4x8, lo cual no es lo mismo que la expresión original.
¿Por qué hay que factorizar 4 en lugar de 4?
En el paso (2), factorizamos un 4 para revelar un factor común de (x2) entre los términos. Si en lugar de eso factorizamos un 4 positivo, no obtendríamos el binomio común de arriba:
(3x26x)+(4x+8)=3x(x2)+4(x+2)
Cuando el término principal en un grupo es negativo, a menudo necesitaremos factorizar un factor común negativo.

Comprueba tu comprensión

4) Factoriza 2x23x4x+6.
Escoge 1 respuesta:

5) Factoriza 3x2+3x10x10.

6) Factoriza 3x2+6xx2.

Problema de desafío

7*) Factoriza 2x3+10x2+3x+15.

¿Cuándo podemos usar el método de agrupación?

El método de agrupación se puede usar para factorizar polinomios siempre que exista un factor común entre las agrupaciones.
Por ejemplo, podemos usar el método de agrupación para factorizar 3x2+9x+2x+6, pues se puede escribir de la siguiente forma:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)
¡Sin embargo, no podemos usar el método de agrupación para factorizar 2x2+3x+4x+12 porque factorizar el MCD de ambos grupos no nos da un factor común!
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)

Usar la agrupación para factorizar trinomios

También puedes usar la agrupación para factorizar ciertas cuadráticas de tres términos (es decir, trinomios) como 2x2+7x+3. Esto es porque podemos volver a escribir la expresión de la siguiente manera:
2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3
Luego podemos usar la agrupación para factorizar 2x2+1x+6x+3 como (x+3)(2x+1).
Para obtener más información sobre la factorización de trinomios cuadrados como estos con el método de agrupación, revisa nuestro siguiente artículo.

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