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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10

Lección 15: Factorizar cuadráticas por agrupación
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Expresiones, ecuaciones y funciones polinomiales
Factorizar cuadráticas por agrupación
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Factorizar expresiones cuadráticas: coeficiente principal ≠ 1

Google Classroom
Aprende a factorizar expresiones cuadráticas como el producto de dos binomios lineales. Por ejemplo, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Lo que necesitas saber antes de tomar esta lección

El método de agrupación se puede usar para factorizar polinomios con 4 términos al sacar factores comunes varias veces. Si esto es nuevo para ti, querrás revisar nuestro artículo Introducción a la factorización por agrupación.
También recomendamos que revises nuestro artículo sobre factorizar cuadráticas con un coeficiente principal de 1 antes de continuar.

Lo que aprenderás en esta lección

En este artículo, usaremos la agrupación para factorizar cuadráticas con coeficiente principal diferente de 1, como 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Ejemplo 1: factorizar 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3

Como el coeficiente principal de left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, right parenthesis es start color #11accd, 2, end color #11accd, no podemos usar el método de suma-producto para factorizar la expresión cuadrática.
En cambio, para factorizar start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, necesitamos encontrar dos enteros con un producto de start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6 (el coeficiente principal multiplicado por el término constante) y una suma de start color #e07d10, 7, end color #e07d10 (el coeficiente de x).
Como start color #01a995, 1, end color #01a995, dot, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6 y start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7, los dos números son start color #01a995, 1, end color #01a995 y start color #01a995, 6, end color #01a995.
Hay que usar estos dos números para separar el término x en la expresión original. Así que podemos expresar nuestro polinomio como 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3.
Ahora podemos usar la agrupación para factorizar el polinomio:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Agrupa teˊrminos.=x(2x+1)+3(2x+1)Factoriza los MCD.=x(2x+1)+3(2x+1)¡Factor comuˊn!=(2x+1)(x+3)Factoriza 2x+1.\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{Agrupa términos.}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{Factoriza los MCD.}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{¡Factor común!}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{Factoriza } 2x+1.}} \end{aligned}
La forma factorizada es left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Podemos revisar nuestro trabajo al mostrar que los factores multiplicados dan de nuevo 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Resumen

En general, podemos usar los siguientes pasos para factorizar una cuadrática de la forma start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff:
  1. Comienza por encontrar dos números que multiplicados den start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff y sumados den start color #e07d10, b, end color #e07d10.
  2. Usa estos números para separar el término x.
  3. Usa la agrupación para factorizar la expresión cuadrática.

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8.
Escoge 1 respuesta:

2) Factoriza 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15.

Ejemplo 2: factorizar 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4

Para factorizar start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, necesitamos encontrar dos enteros cuyo producto sea start color #11accd, 6, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24 y cuya suma sea start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Como start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 24 y start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 5, los números son start color #01a995, 3, end color #01a995 y start color #01a995, minus, 8, end color #01a995.
Ahora podemos escribir el término minus, 5, x como la suma de start color #01a995, 3, end color #01a995, x y start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, x y usar la agrupación para factorizar el polinomio:
= 6x2+3x−8x−4(1)=(6x2+3x)+(−8x−4)Agrupa teˊrminos.(2)=3x(2x+1)+(−4)(2x+1)Factoriza los MCD.(3)=3x(2x+1)−4(2x+1)Simplifica.(4)=3x(2x+1)−4(2x+1)¡Factor comuˊn!(5)=(2x+1)(3x−4)Factoriza 2x+1.\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{Agrupa términos.}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{Factoriza los MCD.}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{Simplifica.}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{¡Factor común!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Factoriza } 2x+1.}}\\ \end{aligned}
La forma factorizada es left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.
Podemos revisar nuestro trabajo al mostrar que los factores multiplicados dan de nuevo 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4.
Toma nota: en el paso start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd anterior, observa que como el tercer término es negativo, se insertó un "+" entre los dos grupos para mantener la expresión equivalente a la original. También, en el paso start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, necesitamos factorizar un MCD negativo del segundo grupo para revelar un factor común de 2, x, plus, 1. ¡Ten cuidado con los signos!

Comprueba tu comprensión

3) Factoriza 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9.
Escoge 1 respuesta:

4) Factoriza 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5.

5) Factoriza 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6.

¿Cuándo es útil este método?

Bueno, claramente, el método es útil para factorizar cuadráticas de la forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c, incluso cuando a, does not equal, 1.
Sin embargo, no siempre es posible factorizar una expresión cuadrática de esta forma con nuestro método.
Por ejemplo, tomemos la expresión start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff. Para factorizarla, necesitamos encontrar dos enteros con un producto de start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2 y una suma de start color #e07d10, 2, end color #e07d10. Intenta tanto como puedas, no encontrarás esos dos enteros.
Por lo tanto, nuestro método no funciona para start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff, y para un montón de otras expresiones cuadráticas.
Es útil recordar, sin embargo, que si este método no funciona, significa que la expresión no se puede factorizar como left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis donde A, B, C y D son enteros.

¿Por qué funciona este método?

Profundicemos en por qué este método es existoso. Tendremos que usar un montón de letras aquí, ¡pero por favor ten paciencia!
Supón que la expresión cuadrática general a, x, squared, plus, b, x, plus, c se puede factorizar como left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis con enteros A, B, C y D.
Cuando desarrollamos el paréntesis, obtenemos la expresión cuadrática left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
¡Como la expresión es equivalente a a, x, squared, plus, b, x, plus, c, los coeficientes correspondientes en las dos expresiones deben ser iguales! Esto nos da la siguiente relación entre todas las incógnitas (representadas por letras):
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Ahora, definamos m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 y n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
De acuerdo con esta definición...
m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b
y
m, dot, n, equals, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, a, dot, c
¡Y así start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 y start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff son los dos enteros que siempre estamos buscando cuando usamos este método de factorización!
El siguiente paso en el método, después de haber encontrado m y n, es descomponer el coeficiente de x, que es b, de acuerdo con m y n y factorizar usando la agrupación.
De hecho, si descomponemos el término de x, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, en left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, seremos capaces de usar la agrupación para factorizar nuestra expresión de nuevo como left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis.
En conclusión, en esta sección nosotros...
  • comenzamos con la expresión general desarrollada a, x, squared, plus, b, x, plus, c y su factorización general left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis,
  • fuimos capaces de encontrar dos números, m y n, tales que m, n, equals, a, c y m, plus, n, equals, b left parenthesislo hicimos al definir m, equals, B, C y n, equals, A, D, right parenthesis,
  • descompusimos el término x, b, x, en m, x, plus, n, x, y fuimos capaces de factorizar la expresión desarrollada de nuevo como left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis.
Este proceso muestra por qué, si una expresión se puede factorizar como left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis, con nuestro método podemos estar seguros de encontrar esta factorización.
¡Gracias por aguantar hasta el final!

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