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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10

Lección 18: Factorizar expresiones cuadráticas: cuadrados perfectos
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Expresiones, ecuaciones y funciones polinomiales
Factorizar expresiones cuadráticas: cuadrados perfectos
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Factorizar expresiones cuadráticas: cuadrados perfectos

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Aprende a factorizar expresiones cuadráticas que tienen la forma "cuadrado perfecto". Por ejemplo, escribe x²+6x+9 como (x+3)².
Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto al proceso de la multiplicación de polinomios.
En este artículo, aprenderemos a factorizar trinomios cuadrados perfectos usando patrones especiales. Esto revierte el proceso de elevar al cuadrado un binomio, así que querrás entender este proceso por completo antes de continuar.

Introducción: factorizar trinomios cuadrados perfectos

Para desarrollar un binomio, podemos aplicar uno de los siguientes patrones.
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Observa que en los patrones, a y b pueden ser cualquier expresión algebraica. Por ejemplo, supón que queremos desarrollar left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. En este caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd y start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, y entonces obtenemos:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Puedes revisar este patrón si multiplicas para desarrollar left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared.
El inverso de este proceso de desarrollo es una forma de factorización. Si volvemos a escribir las ecuaciones en el orden inverso, tendremos patrones para factorizar polinomios de la forma a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared.
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Podemos aplicar el primer patrón para factorizar x, squared, plus, 10, x, plus, 25. Aquí tenemos start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd y start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Las expresiones de esta forma se llaman trinomios cuadrados perfectos. ¡El nombre refleja el hecho de que este tipo de polinomios de tres términos se puede expresar como un cuadrado perfecto!
Veamos unos cuantos ejemplos en los que factorizamos trinomios cuadrados perfectos usando este patrón.

Ejemplo 1: factorizar x, squared, plus, 8, x, plus, 16

Observa que el primero y el último término son cuadrados perfectos: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared y 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Además, observa que el término de en medio es dos veces el producto de los números que están elevados al cuadrado: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
Esto nos dice que el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto, y entonces podemos usar el siguiente patrón de factorización.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
En nuestro caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd y start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Podemos factorizar nuestro polinomio como sigue:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Podemos revisar nuestro trabajo al desarrollar left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza x, squared, plus, 6, x, plus, 9.
Escoge 1 respuesta:

2) Factoriza x, squared, minus, 6, x, plus, 9.
Escoge 1 respuesta:

3) Factoriza x, squared, plus, 14, x, plus, 49.

Ejemplo 2: factorizar 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

No es necesario que el coeficiente principal de un trinomio cuadrado perfecto sea 1.
Por ejemplo, en 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, observa que tanto el primer término como el último son cuadrados perfectos: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared y 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Además, observa que el término de en medio es dos veces el producto de los números que están elevados al cuadrado: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Como esto satisface las condiciones anteriores, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 también es un trinomio cuadrado perfecto. Podemos aplicar nuevamente el siguiente patrón de factorización.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
En este caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd y start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. El polinomio se factoriza como sigue:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Podemos revisar nuestro trabajo al desarrollar left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Comprueba tu comprensión

4) Factoriza 9, x, squared, plus, 30, x, plus, 25.
Escoge 1 respuesta:

5) Factoriza 4, x, squared, minus, 20, x, plus, 25.

Problemas de desafío

6*) Factoriza x, start superscript, 4, end superscript, plus, 2, x, squared, plus, 1.

7*) Factoriza 9, x, squared, plus, 24, x, y, plus, 16, y, squared.

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