Encontrar ceros de polinomios (ejemplo 2)

aquí tengo un polinomio b de x y px está expresado como un polinomio de cuarto grado que multiplica a 3 x menos 8 elevado al cuadrado y bueno de hecho al elevar esto al cuadrado me va a quedar 9 x cuadrada más un montón de cosas y luego al multiplicarlo por un polinomio de cuarto grado nos dará un polinomio de sexto grado ahora bien esta vez nuestro objetivo va a ser encontrar los valores de x que hagan pd x p de x igual a cero es decir voy a encontrar las raíces o los ceros de este polinomio y en particular nos vamos a enfocar a las raíces cuando 0 2 reales las raíces reales de este polinomio y como siempre te invito a que intente resolver esto y después lo vamos a hacer juntos ok vamos a resolverlo entonces para resolver p de x 0 lo que quiero hacer es toda esta expresión igual a 0 y así encontrar los valores de x que harán que este polinomio sea igual a 0 y para hacerlo la mejor manera que se me ocurre es factorizar voy a intentar factorizar lo más que pueda y después ver si lo puedo escribir como el producto de un montón de expresiones igualadas a cero porque recuerda si el producto de un montón de cosas es igual a cero entonces cuando cualquiera de los productos es igual a cero toda la expresión será igual a cero pero bueno ya llegaremos para ella y lo bueno de aquí es que tenemos a 3 menos 8 esto elevado al cuadrado ya factorizar así que voy a intentar factorizar todo lo demás por agrupación se me ocurre intentar factorizar lo por agrupación así que déjame agrupar estos dos primeros términos en estos dos primeros términos y después voy a agrupar se me ocurren los otros dos y bueno con esto vamos a hacer la factorización por agrupación porque recuerdan factorizar por agrupación es lo mismo que hacer lo inverso de la propiedad distributiva dos veces entonces para estos dos primeros términos que me va a quedar bueno se me ocurre que de aquí puedo factorizar bueno lo más que puedo actualizar es x cúbica así que me va a quedar x kubica que va a multiplicar a bueno primero tengo a 3x y después tengo menos 8 de lugo y observa aquí tengo un 3x menos 8 y por aquí también tengo 3x menos 8 creo que eso nos va a servir bastante muy bien ahora vamos a hacer lo mismo con estos de color rosa que tenemos por aquí y lo más que puedo factorizar de ellos dos bueno es un 55 que va a multiplicar aquí en 5 que multiplica a 3 y 5 que multiplica a 8 negativo de lujo entonces mira por aquí también tengo 3 x menos 8 y todo esto está adentro de un paréntesis déjame ponerlo adentro de un paréntesis que a su vez multiplica a 3 x menos 8 al cuadrado 3 x menos 8 esto a su vez elevado al cuadrado y bueno todo esto es igual a cero así que déjame ponerlo esto es igual a cero ahora observa que tengo este 3 x menos ocho este de aquí como factor común entonces qué te parece si lo factor izamos también me quedaría 3x déjame ponerlo así 3 x menos 8 que va a multiplicar aquí el bueno en primer lugar multiplica a x ubican a este de aquí así que déjame ponerlo así va a multiplicar a x cúbica y después va a multiplicar a este 5 que tengo aquí a este 5 que tengo aquí entonces x cúbica más 5 déjame cerrar mi paréntesis y esto a su vez multiplica a 3x menos 8 esto elevado al cuadrado y bueno claro esto es igual a 0 y si sientes que lo que hice aquí fue algo de vudú solo date cuenta que tengo aquí dos veces 3x menos 8 entonces los saco como factor común voy a sacar este 3 x 8 como factor común como factor común lo único que estoy haciendo es hacer lo inverso de la propiedad distributiva y entonces al sacarlo como factor común quedo con este término de 3x kubica porque está multiplicando a 3 x menos 8 y también me quedo con este término de más 5 porque observa que está multiplicando también a 3x menos 8 espero esté más claro ahora tengo 3x menos 8 que multiplica a x cúbica 5 que a su vez multiplica a 3x menos 8 elevado al cuadrado así que puedo multiplicar estos 23 x menos 8 puede multiplicar este por este y que me quedaría bueno me va a quedar 3x menos 8 esto elevado ahora a la tercera potencia estoy multiplicando estos dos y bueno esto a su vez que multiplica a este de aquí a este de aquí que multiplica a x cúbica más y bueno esto es igual a 0 es igual a 0 ahora para que esto sea igual a 0 tiene que pasar lo siguiente o esta expresión de aquí es igual a 0 o esta expresión de aquí es igual a 0 déjame ponerlo o 3 x 3 x menos 8 esto elevado al cubo es igual a cero o bueno en su caso déjame ponerlo así o equis cúbica x cúbica más 5 esto es igual a cero entonces primero pensemos qué pasa cuando hacemos 3x menos 8 al cubo igual a cero si esto es igual a cero que va a pasar bueno esto nos dice que 3 x 3 x menos 8 debe de ser igual a 0 y si 3 x menos 8 es igual a 0 entonces 3x tiene que ser igual a 8 y déjame bajar un poco en la pantalla y esto nos está diciendo que si dividimos todo entre 3 dividimos todo entre 3 todo entre 3 x tiene que tomar el valor de 8 tercios para que este polinomio se haga 0 esta es una raíz si tú pones aquí x igual a 8 tercios bueno pues esto se hace 0 y 0 por lo que sea va a ser cero estás de acuerdo entonces esta es una de nuestras raíces reales de lujo ahora vamos a ver qué pasa con la otra posibilidad tengo x cúbica más 5 igual a cero bueno esto quiere decir que x cúbica tiene que ser igual a menos 5 muy bien y bueno esto quiere decir que x tiene que ser igual a la raíz cúbica la raíz cúbica de menos 5 y seguramente en este momento te puedes preguntar hoy existe una raíz cúbica negativa la respuesta es que si la raíz cúbica de menos 1 es menos 1 o la raíz cúbica de menos 8 es menos así que esta raíz cúbica que tengo aquí va a ser un número negativo y no un número imaginario por lo tanto esta también es una raíz de nuestro polinomio que es real si tú puedes el valor aquí de la raíz cúbica de menos 5 vas a hacer este polinomio igual a 0 y si tú quisieras saber cuánto es la raíz cúbica de menos 5 bueno podemos hacerlo por aquí déjame sacar mi calculadora por acá y bueno si yo quiero la raíz cúbica de menos 5 voy a obtener primero en la raíz cúbica de 5 lo cual es déjame ponerlo así 5 elevado a la potencia un tercio muy bien esto me va a dar 1.7 0 99 y bueno si yo quisiera la raíz cúbica de menos 5 tendré que poner un signo negativo aquí es decir la raíz cúbica de menos 5 es menos 1.7 1 aproximadamente déjame escribirlo esto va a ser aproximadamente x es aproximadamente 1.7 1 negativo de lugo esta sería mi raíz cúbica aproximada así que tenemos dos raíces reales dos raíces reales de este polinomio dos ceros reales para este polinomio y estos serán los lugares donde vamos a interceptar al eje x estas son las dos intersecciones con el eje x y ya está nos vemos en el siguiente vídeo