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Álgebra (todo el contenido)
Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10
Lección 35: Gráficas de polinomiosGráficas de polinomios
Analiza polinomios para bosquejar sus gráficas.
Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección
El comportamiento en los extremos de una función f describe el comportamiento de su gráfica en las "orillas" del eje x. Algebraicamente, el comportamiento en los extremos se determina con las siguientes dos preguntas:
- Cuando x, right arrow, plus, infinity, ¿a qué se aproxima f, left parenthesis, x, right parenthesis?
- Cuando x, right arrow, minus, infinity, ¿a qué se aproxima f, left parenthesis, x, right parenthesis?
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestro artículo sobre el comportamiento de polinomios en los extremos.
Los ceros de una función f corresponden a las interseccciones de su gráfica con el eje x. Si f tiene un cero de grado impar, su gráfica cruza el eje x en ese valor de x. Si f tiene un cero de grado par, su gráfica toca el eje x en ese punto.
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestro artículo de ceros de polinomios.
Lo que aprenderás en esta lección
En esta lección utilizaremos las características anteriores para analizar y bosquejar gráficas de polinomios. Después utilizaremos esas gráficas para determinar los intervalos poitivos y negativos del polinomio.
Analizar funciones polinomiales
Ahora analizaremos varias características de la gráfica del polinomio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.
Encontrar la intersección con el eje y
Para encontrar la intersección con el eje y de la gráfica de f, podemos calcular f, left parenthesis, 0, right parenthesis.
La intersección con el eje y de la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis es left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis.
Encontrar intersecciones con el eje x
Para encontrar las intersecciones con el eje x, podemos resolver la ecuación f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.
Las intersecciones con el eje y de la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis son left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis y left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.
Nuestro trabajo también muestra que start fraction, 2, divided by, 3, end fraction es un cero de grado 1, y que minus, 2 es un cero de grado 2. Esto significa que la gráfica cruza el eje x en left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, y toca el eje x en left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.
Encontrar el comportamiento en los extremos
Para encontrar el comportamiento en los extremos, podemos examinar el término principal cuando la función está escrita en forma estándar.
Escribamos la ecuación en forma estándar
El término principal del polinomio es start color #e07d10, 3, x, cubed, end color #e07d10, así que el comportamiento en los extremos de la función f es el mismo que el comportamiento en los extremos de 3, x, cubed.
Puesto que el grado es impar y el coeficiente principal es positivo, el comportamiento en los extremos es: cuando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, y cuando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
Bosquejar una gráfica
Podemos utilizar lo que hemos encontrado para bosquejar la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Empecemos con el comportamiento en los extremos:
- Cuando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity
- Cuando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity
Esto significa que en las "orillas" la gráfica es parecida a la gráfica de y, equals, x, cubed.
Ahora podemos agregar lo que sabemos sobre intersecciones con el eje y:
- La gráfica toca el eje x en left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis, pues minus, 2 es un cero de grado par.
- La gráfica cruza el eje x en left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, pues start fraction, 2, divided by, 3, end fraction es un cero de grado impar.
Finalmente, terminemos el proceso al trazar la intersección con el eje y en left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis y llenar los huecos con una curva fluida y continua.
Aunque no sabemos exactamente los puntos donde la gráfica cambia, ¡ya tenemos una buena idea de la forma general de gráfica de la función!
Intervalos positivos y negativos
Ahora que tenemos un bosquejo de la gráfca de f, es sencillo determinar los intervalos en los cuales f es positiva, y en los cuales es negativa.
Vemos que f is positiva cuando x, is greater than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, y negativa cuando x, is less than, minus, 2, o minus, 2, is less than, x, is less than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.
Comprueba tu comprensión
1) Ahora trabajarás por tí mismo en hacer un bosquejo de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis.
¿Quieres unirte a la conversación?
- La respuesta b está incorrecta, al tener el termino del polinomio de mayor grado impar (3), las ramas de gráfico deberían ser opuestas; por lo tanto, las respuesta dada como correcta, la 2ª opción deberían ser que la rama izquierda tiende a − ∞.(6 votos)
- si sustituyes en la formula te daras cuenta que cuando x tiende a más infinito f(X) tiende a menos infinito(1 voto)
- En el punto B, las opciones que propone no son coherentes con la respuesta, ya que la respuesta es: Cuando inf + entonces g(x) +, cuando inf - entonces g(x) -, si observamos las opciones, no existe una que sea acorde a la respuesta correcta.(4 votos)
- En la pregunta 1b) hay dos opciones de respuesta idénticas y no hay respuesta correcta. Se intuye que hay un error (y lo hay)
Si x tiende a infinito g(x) tiende a infinito y si xtiende a menos infinito, g(x) tiende a menos infinito ya que la función es polinomial de grado impar con coeficiente positivo para el término de mayor grado.(3 votos) - ¿Es verdadero o falso que la gráfica de cualquier polinomio de grado impar (el mayor exponente es impar) tiene al menos una tangente horizontal?(1 voto)
- si y vale x (x-2) yt q vale(1 voto)
- yo no entiendo por que se lian tanto si es tan simple como sustituir en la formula, por ejemplo en el segundo problema sustituimos x=4 en (2-x)(x+1)^2
resolvemos
f(x)=(2-(4))(4+1)^2
f(x)=(2-4)(16+1)
f(x)=(-2)(17)
f(x)=-34
vemos que al sustituir x por un numero positivo f(x) tiende a un número negativo
ahora sustituimos por -4
f(x)=(2-(-4))(-4+1)^2
f(x)=(2+4)(16+1)
f(x)=(6)(17)
f(x)=102
aquí vemos que cuando x tiende a menos infinito, f(x) tiende a mas infinito.(1 voto)- Se puede hacer algo asi, pero muchas curvas son mas complicadas. Por ejemplo, una curva de tipo x² solo habre en una direccion, pero x³ puede subir, bajar un poco, y seguir subiendo. Si puedes, haz la gráfica de f(x)=x⁴-4x² y puedes ver que escogiendo solo dos valores para ensayar no da una representacion correcta, si los valores son entre 0 y 4. Si entiendes?(1 voto)