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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10

Lección 35: Gráficas de polinomios
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Expresiones, ecuaciones y funciones polinomiales
Gráficas de polinomios
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Gráficas de polinomios

Google Classroom
Analiza polinomios para bosquejar sus gráficas.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

El comportamiento en los extremos de una función f describe el comportamiento de su gráfica en las "orillas" del eje x. Algebraicamente, el comportamiento en los extremos se determina con las siguientes dos preguntas:
  • Cuando x, right arrow, plus, infinity, ¿a qué se aproxima f, left parenthesis, x, right parenthesis?
  • Cuando x, right arrow, minus, infinity, ¿a qué se aproxima f, left parenthesis, x, right parenthesis?
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestro artículo sobre el comportamiento de polinomios en los extremos.
Los ceros de una función f corresponden a las interseccciones de su gráfica con el eje x. Si f tiene un cero de grado impar, su gráfica cruza el eje x en ese valor de x. Si f tiene un cero de grado par, su gráfica toca el eje x en ese punto.
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestro artículo de ceros de polinomios.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección utilizaremos las características anteriores para analizar y bosquejar gráficas de polinomios. Después utilizaremos esas gráficas para determinar los intervalos poitivos y negativos del polinomio.

Analizar funciones polinomiales

Ahora analizaremos varias características de la gráfica del polinomio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.

Encontrar la intersección con el eje y

Para encontrar la intersección con el eje y de la gráfica de f, podemos calcular f, left parenthesis, 0, right parenthesis.
f(x)=(3x−2)(x+2)2f(0)=(3(0)−2)(0+2)2f(0)=(−2)(4)f(0)=−8\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ f(\tealD0)&= (3(\tealD 0)-2)(\tealD0+2)^2\\ \\ f(0)&= (-2)(4)\\\\ f(0)&=-8 \end{aligned}
La intersección con el eje y de la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis es left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis.

Encontrar intersecciones con el eje x

Para encontrar las intersecciones con el eje x, podemos resolver la ecuación f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.
f(x)=(3x−2)(x+2)20=(3x−2)(x+2)2\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ \tealD 0&= (3x-2)(x+2)^2\\ \\ \end{aligned}
↙↘3x−2=0ox+2=0Propiedad del producto por cerox=23ox=−2\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 3x-2&=0&\text{o}\quad x+2&=0&\small{\gray{\text{Propiedad del producto por cero}}}\\\\ x&=\dfrac{2}{3}&\text{o}\qquad x&=-2\end{aligned}
Las intersecciones con el eje y de la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis son left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis y left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.
Nuestro trabajo también muestra que start fraction, 2, divided by, 3, end fraction es un cero de grado 1, y que minus, 2 es un cero de grado 2. Esto significa que la gráfica cruza el eje x en left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, y toca el eje x en left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.

Encontrar el comportamiento en los extremos

Para encontrar el comportamiento en los extremos, podemos examinar el término principal cuando la función está escrita en forma estándar.
Escribamos la ecuación en forma estándar
f(x)=(3x−2)(x+2)2f(x)=(3x−2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x−2x2−8x−8f(x)=3x3+10x2+4x−8\begin{aligned}f(x)&=(3x-2)(x+2)^2\\ \\ f(x)&=(3x-2)(x^2+4x+4)\\ \\ f(x)&=3x^3+12x^2+12x-2x^2-8x-8\\ \\ f(x)&=\goldD{3x^3}+10x^2+4x-8 \end{aligned}
El término principal del polinomio es start color #e07d10, 3, x, cubed, end color #e07d10, así que el comportamiento en los extremos de la función f es el mismo que el comportamiento en los extremos de 3, x, cubed.
Puesto que el grado es impar y el coeficiente principal es positivo, el comportamiento en los extremos es: cuando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, y cuando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

Bosquejar una gráfica

Podemos utilizar lo que hemos encontrado para bosquejar la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Empecemos con el comportamiento en los extremos:
  • Cuando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity
  • Cuando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity
Esto significa que en las "orillas" la gráfica es parecida a la gráfica de y, equals, x, cubed.
Los extremos de un polinomio están representados gráficamente en un plano de coordenadas x y. El primer extremo se curva hacia arriba de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante. Está etiquetado como x tiende a infinito negativo, f de x tiende a infinito negativo. El otro extremo se curva hacia arriba de izquierda a derecha desde el primer cuadrante. Está etiquetado como x tiende a infinito positivo, f de x tiende a infinito positivo.
Ahora podemos agregar lo que sabemos sobre intersecciones con el eje y:
  • La gráfica toca el eje x en left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis, pues minus, 2 es un cero de grado par.
  • La gráfica cruza el eje x en left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, pues start fraction, 2, divided by, 3, end fraction es un cero de grado impar.
Las partes de un polinomio están representadas gráficamente en un plano de coordenadas x y. El primer extremo se curva hacia arriba de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante. El otro extremo se curva hacia arriba de izquierda a derecha desde el primer cuadrante. Hay un punto en el eje x en (dos negativo, cero) y en (dos sobre tres, cero). Una parte del polinomio está representado gráficamente curvándose hacia arriba para tocar (dos negativo, cero) antes de volver a curvarse hacia abajo. Otra parte del polinomio está representado gráficamente curvándose hacia arriba y cruzando el eje x en el punto (dos sobre tres, cero).
Finalmente, terminemos el proceso al trazar la intersección con el eje y en left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis y llenar los huecos con una curva fluida y continua.
Aunque no sabemos exactamente los puntos donde la gráfica cambia, ¡ya tenemos una buena idea de la forma general de gráfica de la función!
Las partes de un polinomio están representadas gráficamente en un plano de coordenadas x y. El primer extremo se curva hacia arriba de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante. El otro extremo se curva hacia arriba de izquierda a derecha desde el primer cuadrante. Hay un punto en el eje x en (dos negativo, cero) y en (dos sobre tres, cero). Una parte del polinomio está representado gráficamente curvándose hacia arriba para tocar (dos negativo, cero) antes de volver a curvarse hacia abajo. Otra parte del polinomio está representado gráficamente curvándose hacia arriba y cruzando el eje x en el punto (dos sobre tres, cero). Hay un punto en (cero, ocho negativo) etiquetado intercepto en y. Las partes del polinomio están conectadas por tramos punteados de la gráfica, que pasan por el intercepto en y.

Intervalos positivos y negativos

Ahora que tenemos un bosquejo de la gráfca de f, es sencillo determinar los intervalos en los cuales f es positiva, y en los cuales es negativa.
Un polinomio está representado gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha tocando el eje x en (dos negativo, cero) antes de curvarse hacia abajo. Se curva hacia arriba y pasa por el eje x en (dos sobre tres, cero). Donde x es menor que dos negativo, la sección que está debajo del eje x está sombreada y etiquetada como negativa. Donde x es mayor que dos negativo y menor que dos sobre tres, la sección que está debajo del eje x está sombreada y etiquetada como negativa. Donde x es mayor que dos sobre tres, la sección que está sobre el eje x está sombreada y etiquetada como positiva.
Vemos que f is positiva cuando x, is greater than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, y negativa cuando x, is less than, minus, 2, o minus, 2, is less than, x, is less than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.

Comprueba tu comprensión

1) Ahora trabajarás por tí mismo en hacer un bosquejo de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis.
a) ¿Cuál es la intersección de la gráfica de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis con el eje y?
left parenthesis, 0,
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

b) ¿Cuál es el comportamiento en los extremos de la gráfica de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
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c) ¿Cuáles son las intersecciones de la gráfica de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis con el eje x?
Escoge 1 respuesta:

d) ¿Cuál de las siguientes puede ser la gráfica de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

2) ¿Cuál de las siguientes puede ser la gráfica de y, equals, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared
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