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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10

Lección 10: Introducción a la factorización
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Expresiones, ecuaciones y funciones polinomiales
Introducción a la factorización
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Introducción a factores y divisibilidad

Google Classroom
Aprende qué significa que los polinomios sean factores de otros polinomios o que sean divisibles entre ellos.

Lo que necesitamos saber para esta lección

Un monomio es una expresión que es el producto de constantes y potencias enteras no negativas de x, por ejemplo, 3, x, squared. Un polinomio es una expresión que consiste en la suma o resta de monomios, por ejemplo, 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.

Lo que aprenderemos en esta lección

En esta lección vamos a explorar la relación entre factores y divisibilidad en polinomios, y también aprenderemos cómo determinar si un polinomio es un factor de otro polinomio.

Factores y divisibilidad en enteros

En general, dos enteros que se multiplican para obtener un número se consideran factores de ese número.
Por ejemplo, como 14, equals, 2, dot, 7, sabemos que 2 y 7 son factores de 14, point
Un número es divisible entre otro número si el resultado de la división es un entero.
Por ejemplo, como start fraction, 15, divided by, 3, end fraction, equals, 5 y start fraction, 15, divided by, 5, end fraction, equals, 3, entonces 15 es divisible entre 3 y 5. Pero, ya que start fraction, 9, divided by, 4, end fraction, equals, 2, point, 25, entonces 9 no es divisible entre 4.
Observa la relación entre factores y divisibilidad:
Como start color #e07d10, 14, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 7 (lo cual significa que 2 es un factor de 14), sabemos que start fraction, start color #e07d10, 14, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 2, end color #11accd, end fraction, equals, 7 (lo que significa que 14 es divisible entre 2).
start underbrace, start color #a75a05, 14, end color #a75a05, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, dot, 7, end underbrace, start subscript, 2, start text, space, e, s, space, u, n, space, f, a, c, t, o, r, space, d, e, space, end text, 14, end subscript, \longrightarrow, start underbrace, start fraction, start color #a75a05, 14, end color #a75a05, divided by, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, end fraction, equals, 7, end underbrace, start subscript, 14, start text, space, e, s, space, d, i, v, i, s, i, b, l, e, space, e, n, t, r, e, space, end text, 2, end subscript
En la otra dirección, como start fraction, start color #e07d10, 15, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, equals, 5 (lo que significa que 15 es divisible entre 3), sabemos que start color #e07d10, 15, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, 5 (lo que significa que 3 es un factor de 15).
start underbrace, start fraction, start color #a75a05, 15, end color #a75a05, divided by, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, end fraction, equals, 5, end underbrace, start subscript, 15, start text, space, e, s, space, d, i, v, i, s, i, b, l, e, space, e, n, t, r, e, space, end text, 3, end subscript, \longrightarrow, start underbrace, start color #a75a05, 15, end color #a75a05, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, dot, 5, end underbrace, start subscript, 3, start text, space, e, s, space, u, n, space, f, a, c, t, o, r, space, d, e, space, end text, 15, end subscript
Esto es verdad en general: si a es un factor de b, entonces b es divisible entre a y viceversa.

Factores y divisibilidad en polinomios

Este conocimiento puede aplicarse también a polinomios.
Cuando se multiplican dos o más polinomios, llamamos a cada uno de estos polinomios factores del producto.
Por ejemplo, sabemos que 2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 6, x. Esto significa que 2, x y x, plus, 3 son factores de 2, x, squared, plus, 6, x.
Además, un polinomio es divisible entre otro polinomio si el cociente es también un polinomio.
Por ejemplo, como start fraction, 6, x, squared, divided by, 3, x, end fraction, equals, 2, x y como start fraction, 6, x, squared, divided by, 2, x, end fraction, equals, 3, x, entonces 6, x, squared es divisible entre 3, x y 2, x. Sin embargo, como start fraction, 4, x, divided by, 2, x, squared, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, x, end fraction, sabemos que 4, x no es divisible entre 2, x, squared.
Con polinomios, podemos notar la misma relación entre los factores y la divisibilidad que con enteros.
start underbrace, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, dot, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, start color #a75a05, 2, x, squared, plus, 6, x, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, 2, x, start text, space, e, s, space, u, n, space, f, a, c, t, o, r, space, d, e, space, end text, 2, x, squared, plus, 6, x, end subscript, \longrightarrow, start underbrace, start fraction, start color #a75a05, 2, x, squared, plus, 6, x, end color #a75a05, divided by, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, end fraction, equals, x, plus, 3, end underbrace, start subscript, 2, x, squared, plus, 6, x, start text, space, e, s, space, d, i, v, i, s, i, b, l, e, space, e, n, t, r, e, space, end text, 2, x, end subscript
start underbrace, start fraction, start color #a75a05, 6, x, squared, end color #a75a05, divided by, start color #0c7f99, 3, x, end color #0c7f99, end fraction, equals, 2, x, end underbrace, start subscript, 6, x, squared, start text, space, e, s, space, d, i, v, i, s, i, b, l, e, space, e, n, t, r, e, space, end text, 3, x, end subscript, \longrightarrow, start underbrace, start color #0c7f99, 3, x, end color #0c7f99, dot, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, equals, start color #a75a05, 6, x, squared, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, 3, x, start text, space, e, s, space, u, n, space, f, a, c, t, o, r, space, d, e, space, end text, 6, x, squared, end subscript
En general, si p, equals, q, dot, r para los polinomios p, q y r, entonces sabemos lo siguiente:
  • q y r son factores de p.
  • p es divisible entre q y r.

Comprueba tu comprensión

1) Completa el enunciado acerca de la relación expresada por 3, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x.
x, plus, 2 es
3, x, squared, plus, 6, x, y 3, x, squared, plus, 6, x es
x, plus, 2.

2) Una maestra escribe el siguiente producto en el pizarrón:
left parenthesis, 3, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, equals, 12, x, cubed
Miles concluye que 3, x, squared es un factor de 12, x, cubed.
Jude concluye que 12, x, cubed es divisible entre 4, x.
¿Quién está en lo correcto?
Escoge 1 respuesta:

Determinar factores y divisibilidad

Ejemplo 1: ¿24, x, start superscript, 4, end superscript es divisible entre 8, x, cubed?

Para responder esta pregunta, podemos encontrar y simplificar start fraction, 24, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 8, x, cubed, end fraction. Si el resultado es un monomio, entonces 24, x, start superscript, 4, end superscript es divisible entre 8, x, cubed. Si el resultado no es un monomio, entonces 24, x, start superscript, 4, end superscript no es divisible entre 8, x, cubed.
24x48x3=248⋅x4x3=3⋅x1aman=am−n=3x\begin{aligned}\dfrac{24x^4}{8x^3}&=\dfrac{24}{8}\cdot\dfrac{x^4}{x^3}\\ \\ &=3\cdot x^1&&{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=3x \end{aligned}
Como el resultado es un monomio, sabemos que 24, x, start superscript, 4, end superscript es divisible entre 8, x, cubed. (Esto también implica que 8, x, cubed es un factor de 24, x, start superscript, 4, end superscript).

Ejemplo 2: ¿4, x, start superscript, 6, end superscript es un factor de 32, x, cubed?

Si 4, x, start superscript, 6, end superscript es un factor de 32, x, cubed, entonces 32, x, cubed es divisible entre 4, x, start superscript, 6, end superscript. Así que encontremos y simplifiquemos start fraction, 32, x, cubed, divided by, 4, x, start superscript, 6, end superscript, end fraction.
32x34x6=324⋅x3x6=8⋅x−3aman=am−n=8⋅1x3a−m=1am=8x3\begin{aligned}\dfrac{32x^3}{4x^6}&=\dfrac{32}{4}\cdot\dfrac{x^3}{x^6}\\ \\ &=8\cdot x^{-3}&&{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=8\cdot \dfrac{1}{x^3}&&{\gray{a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}}}\\ \\ &=\dfrac{8}{x^3} \end{aligned}
Observa que el término start fraction, 8, divided by, x, cubed, end fraction no es un monomio pues es un cociente, no un producto. Por lo tanto, podemos concluir que 4, x, start superscript, 6, end superscript no es un factor de 32, x, cubed.

Resumen

En general, para determinar si un polinomio p es divisible entre otro polinomio q, o de forma equivalente si q es un factor de p, podemos encontrar y examinar start fraction, p, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, q, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction.
Si la forma simplificada es un polinomio, entonces p es divisible entre q y q es un factor de p.

Comprueba tu comprensión

3) ¿Es 30, x, start superscript, 4, end superscript divisible entre 2, x, squared?
Escoge 1 respuesta:

4) ¿Es 12, x, squared un factor de 6, x?
Escoge 1 respuesta:

Problemas de desafío

5*) ¿Cuáles de los siguientes monomios son factores de 15, x, squared, y, start superscript, 6, end superscript ?
Es factor
No es factor
3, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript
5, x
10, x, start superscript, 4, end superscript, y, cubed

6*) El área de un rectángulo con alto de x, plus, 1 unidades y base de x, plus, 4 unidades es de x, squared, plus, 5, x, plus, 4 unidades cuadradas.
Un modelo de área para un rectángulo que tiene una altura de x más uno y un ancho de x más cuatro. El área del rectángulo es x cuadrado más cinco x más cuatro.
¿Cuáles de los siguientes son factores de x, squared, plus, 5, x, plus, 4?
Elige todas las respuestas adecuadas:

¿Por qué nos interesa factorizar polinomios?

Así como factorizar enteros se volvió muy útil para una variedad de aplicaciones, ¡lo mismo ocurre con la factorización de polinomios!
Específicamente, la factorización de polinomios es muy útil para resolver ecuaciones y para simplificar expresiones racionales.
Si te gustaría aprender más al respecto revisa los siguientes artículos:

¿Qué sigue?

El siguiente paso en el proceso de factorización involucra aprender a factorizar monomios. Puedes aprender sobre esto en nuestro siguiente artículo.

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