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Contenido principal

Introducción a factores y divisibilidad

Aprende qué significa que los polinomios sean factores de otros polinomios o que sean divisibles entre ellos.

Lo que necesitamos saber para esta lección

Un monomio es una expresión que es el producto de constantes y potencias enteras no negativas de x, por ejemplo, 3x2. Un polinomio es una expresión que consiste en la suma o resta de monomios, por ejemplo, 3x2+6x1.

Lo que aprenderemos en esta lección

En esta lección vamos a explorar la relación entre factores y divisibilidad en polinomios, y también aprenderemos cómo determinar si un polinomio es un factor de otro polinomio.

Factores y divisibilidad en enteros

En general, dos enteros que se multiplican para obtener un número se consideran factores de ese número.
Por ejemplo, como 14=27, sabemos que 2 y 7 son factores de 14.
Un número es divisible entre otro número si el resultado de la división es un entero.
Por ejemplo, como 153=5 y 155=3, entonces 15 es divisible entre 3 y 5. Pero, ya que 94=2.25, entonces 9 no es divisible entre 4.
Observa la relación entre factores y divisibilidad:
Como 14=27 (lo cual significa que 2 es un factor de 14), sabemos que 142=7 (lo que significa que 14 es divisible entre 2).
14=272 es un factor de 14142=714 es divisible entre 2
En la otra dirección, como 153=5 (lo que significa que 15 es divisible entre 3), sabemos que 15=35 (lo que significa que 3 es un factor de 15).
153=515 es divisible entre 315=353 es un factor de 15
Esto es verdad en general: si a es un factor de b, entonces b es divisible entre a y viceversa.

Factores y divisibilidad en polinomios

Este conocimiento puede aplicarse también a polinomios.
Cuando se multiplican dos o más polinomios, llamamos a cada uno de estos polinomios factores del producto.
Por ejemplo, sabemos que 2x(x+3)=2x2+6x. Esto significa que 2x y x+3 son factores de 2x2+6x.
Además, un polinomio es divisible entre otro polinomio si el cociente es también un polinomio.
Por ejemplo, como 6x23x=2x y como 6x22x=3x, entonces 6x2 es divisible entre 3x y 2x. Sin embargo, como 4x2x2=2x, sabemos que 4x no es divisible entre 2x2.
Con polinomios, podemos notar la misma relación entre los factores y la divisibilidad que con enteros.
2x(x+3)=2x2+6x2x es un factor de 2x2+6x2x2+6x2x=x+32x2+6x es divisible entre 2x
6x23x=2x6x2 es divisible entre 3x3x(2x)=6x23x es un factor de 6x2
En general, si p=qr para los polinomios p, q y r, entonces sabemos lo siguiente:
  • q y r son factores de p.
  • p es divisible entre q y r.

Comprueba tu comprensión

1) Completa el enunciado acerca de la relación expresada por 3x(x+2)=3x2+6x.
x+2 es
3x2+6x, y 3x2+6x es
x+2.

2) Una maestra escribe el siguiente producto en el pizarrón:
(3x2)(4x)=12x3
Miles concluye que 3x2 es un factor de 12x3.
Jude concluye que 12x3 es divisible entre 4x.
¿Quién está en lo correcto?
Escoge 1 respuesta:

Determinar factores y divisibilidad

Ejemplo 1: ¿24x4 es divisible entre 8x3?

Para responder esta pregunta, podemos encontrar y simplificar 24x48x3. Si el resultado es un monomio, entonces 24x4 es divisible entre 8x3. Si el resultado no es un monomio, entonces 24x4 no es divisible entre 8x3.
24x48x3=248x4x3=3x1aman=amn=3x
Como el resultado es un monomio, sabemos que 24x4 es divisible entre 8x3. (Esto también implica que 8x3 es un factor de 24x4).

Ejemplo 2: ¿4x6 es un factor de 32x3?

Si 4x6 es un factor de 32x3, entonces 32x3 es divisible entre 4x6. Así que encontremos y simplifiquemos 32x34x6.
32x34x6=324x3x6=8x3aman=amn=81x3am=1am=8x3
Observa que el término 8x3 no es un monomio pues es un cociente, no un producto. Por lo tanto, podemos concluir que 4x6 no es un factor de 32x3.

Resumen

En general, para determinar si un polinomio p es divisible entre otro polinomio q, o de forma equivalente si q es un factor de p, podemos encontrar y examinar p(x)q(x).
Si la forma simplificada es un polinomio, entonces p es divisible entre q y q es un factor de p.

Comprueba tu comprensión

3) ¿Es 30x4 divisible entre 2x2?
Escoge 1 respuesta:

4) ¿Es 12x2 un factor de 6x?
Escoge 1 respuesta:

Problemas de desafío

5*) ¿Cuáles de los siguientes monomios son factores de 15x2y6 ?
Es factor
No es factor
3x2y5
5x
10x4y3

6*) El área de un rectángulo con alto de x+1 unidades y base de x+4 unidades es de x2+5x+4 unidades cuadradas.
¿Cuáles de los siguientes son factores de x2+5x+4?
Elige todas las respuestas adecuadas:

¿Por qué nos interesa factorizar polinomios?

Así como factorizar enteros se volvió muy útil para una variedad de aplicaciones, ¡lo mismo ocurre con la factorización de polinomios!
Específicamente, la factorización de polinomios es muy útil para resolver ecuaciones y para simplificar expresiones racionales.
Si te gustaría aprender más al respecto revisa los siguientes artículos:

¿Qué sigue?

El siguiente paso en el proceso de factorización involucra aprender a factorizar monomios. Puedes aprender sobre esto en nuestro siguiente artículo.

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