Introducción a polinomios

exploremos la noción de un polinomio parece que es una palabra complicada pero si la dividimos podemos ver que empieza a cobrar sentido especialmente cuando veamos ejemplos de polinomios en la primera parte de esta palabra tenemos poli que proviene del griego y significa mucho o números o en este caso muchos novios no mío proviene del latín y significa nombre así que podríamos decir que polinomio significa muchos nombres pero en el contexto matemático en realidad se refiere a términos vamos a hablar un poco de lo que es un término para explicar lo que es un polinomio y lo que no es un polinomio les voy a dar algunos ejemplos y luego podremos escribir algunas reglas para ellos entonces un ejemplo de polinomio podría ser viese x a la séptima potencia menos 9 x al cuadrado más 15 x a la tercera potencia más 9 este es un polinomio otro ejemplo de polinomio es 9 a cuadrada menos 5 incluso si tengo un número si escribo el número 6 oficialmente puede ser considerado como un polinomio si escribo 7 al cuadrado menos tres más pi esto también es un polinomio estos son ejemplos de polinomios ahora cuáles son algunos ejemplos de lo que no son polinomios bueno si reemplazas la séptima potencia que tenemos aquí con una potencia negativa digamos que escribo 10x a la séptima potencia negativa en los 9 x cuadrada + 15 x a la tercera potencia más 9 esto no sería un polinomio tal vez estés notando una regla de lo que no es un polinomio no puede haber potencias negativas en las variables de cualquiera de los términos y ya use la palabra términos así que voy a explicarla porque me va a ayudar a explicar lo que es un polinomio un polinomio es algo que se compone de una suma de términos así por ejemplo en este primer polinomio el primer término es pieza x a la séptima potencia el segundo término es menos 9 x cuadrada el siguiente término es 15 x a la tercera potencia y el último término podríamos decir que es el cuarto término es 9 todos estos son términos aquí tenemos un polinomio de 4 términos y podrías pensar que esto que tenemos aquí escrito en rojo también tiene cuatro términos tenemos que poner más reglas para definir oficialmente lo que es un polinomio especialmente un polinomio en una variable cada uno de estos términos tiene un coeficiente que es lo que multiplica la variable que está elevada a alguna potencia así que en el primer término el coeficiente es 10 aquí voy a escribir coeficiente es otra palabra extravagante pero simplemente es lo que multiplica a la variable en este caso a la equis a la séptima potencia el primer coeficiente 10 el siguiente coeficiente es 9 negativo el tercer coeficiente es 15 y tenemos este cuarto término o este cuarto número como en coeficiente porque lo podemos reescribir de otra forma en lugar de sólo escribir 9 podemos escribirlo como 9 x a la potencia 0 y así lo podemos ver más claramente como un coeficiente entonces en general un polinomio es la suma de un número finito de términos los cuales tienen un coeficiente que puedo representar por una letra digamos a que multiplica a una variable que está elevada a una potencia entera no negativa esto es el coeficiente que puede ser positivo o negativo puede ser cualquier número real tenemos una variable y luego el exponente que tenemos aquí tiene que ser un entero no negativo entero no negativo aquí la razón por la que escribió esto en rojo es porque esto no es un polinomio tiene un exponente que es un entero negativo vamos a ver otros ejemplos de lo que no es un polinomio podemos tomar este segundo polinomio y cambiarlo en lugar de 9 a cuadrada voy a escribir 9 a la potencia un medio menos 5 esto no es un polinomio porque el exponente que tenemos aquí no es entero es un medio y esto es lo mismo que 9 por raíz cuadrada de a menos 5 esto no es un polinomio o si escribimos 9 a elevada a la potencia a menos 5 tampoco es un polinomio porque aquí el exponente es una variable y no es un entero no negativo así que todos estos son ejemplos de cosas que no son polinomios hay otra terminología que es importante que conozcamos polinomio es un término general que se usa para estas expresiones que tienen muchos términos un número finito de términos no infinito y que tienen esta forma pero hay una terminología más específica cuando tienes un solo término o dos términos o tres términos cuando tienes un término se llama mono mió mono mió éste es un ejemplo de mono mió lo podríamos escribir como 6x a la potencia 0 otro ejemplo de mono mió podría ser 10 eta a la decimoquinta potencia esto también es un mono mió el coeficiente podría ser digamos pi por b a la quinta potencia cualquiera de estos ejemplos es un mono mío ahora que es un binomio un binomio tiene dos términos un mono mío tiene un término mono significa 1 binomio son dos términos aquí tenemos un binomio binomio y todos son polinomios pero existen sus clasificaciones esto es un binomio aquí tenemos un término y dos términos otro ejemplo de binomio podría ser 13 al cubo más 5 y una vez más son dos términos que tienen esta forma que tenemos aquí también escucharás el término trinomio un trinomio tiene tres términos trinomio y este es un ejemplo este es el primer término el segundo y el tercero ahora la siguiente palabra que escucharás repetidamente en el contexto de polinomios es la noción de grado de un polinomio escucharás a la gente decir cuál es el grado de un polinomio o cuál es el grado de un término dado de un polinomio vamos a empezar con el grado de un término dado de un polinomio vamos a este polinomio que tenemos aquí tenemos este primer término 10 x a la séptima potencia el grado es la potencia a la que está elevada a la variable así que este es un término de séptimo grado el segundo es un término de segundo grado el tercer término es de tercer grado y puedes ver este término como un término constante que en realidad es sólo un 9 podrías verlo así simplemente algunos dirán que es un término constante y algunos llamarán el término de grado cero si hablamos del grado del polinomio entero entonces tenemos que ver cuál es el término con el grado más grande ese será el grado del polinomio entero así que en este primer ejemplo tenemos un polinomio de séptimo grado este de aquí es un polinomio de segundo grado porque tiene un término de segundo grado y es el término de mayor grado este es de tercer grado podemos llamarlo binomio de tercer grado porque su término de mayor grado es de 3º si aquí tuviéramos 5 g a la séptima en lugar de 5 y entonces sería un binomio de séptimo grado aquí tenemos un mono mió de grado 15 este es un trinomio de segundo grado otra cosa que quiero introducir aquí es la idea de término principal y de coeficiente principal que significa ser principal si hablamos del término principal es el primer término si hablamos de coeficiente principal es el coeficiente del primer término pero a menudo se asocia con un polinomio que está escrito en la forma estándar estándar es escribir los términos en orden de grado empezando por el término de mayor grado por ejemplo lo que tengo aquí arriba no está escrito en forma estándar porque aquí tengo el término de mayor grado al principio pero luego aquí debería ir el término del siguiente grado mayor que es x a la tercera potencia pero aquí tenemos x cuadrada así que esto no es la forma estándar si quiero escribir la forma estándar debo tener 10 x a la séptima potencia que es el término de mayor grado es de séptimo grado y luego 15 x a la tercera potencia que es el siguiente mayor grado luego 9 negativo por x cuadrada que es el siguiente mayor grado y luego el término de menor grado más 9 o más 9 x en la potencia 0 ahora este polinomio está escrito en la forma estándar lo escribí en orden de grado decreciente con el grado mayor al principio aquí está claro que el término principal es 10x a la séptima potencia porque es el primer término y el coeficiente principal es el número 10 hay mucho en este vídeo pero espero que la noción del polinomio no sea demasiado intimidante hasta este punto y vimos palabras realmente útiles para que se familiaricen con ellas en su viaje por las matemáticas